慶大理工数学'08[A3]

(1) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと ス である。
(2) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件は、 セ のとき ス であり、 セ のとき ソ となる。

このように、aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものをと書くことにする。たとえばならば=−( ス )である。
(3) とする。と定めて、aを変数xで書き換えた関数に対してを考える。 タ のとき チ であり、 タ のとき ツ である。

解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。

(1)() 直線 ・・・@ と、曲線 ・・・A が共有点をもつとき、@,Aを連立して、

 ・・・B
の判別式について(2次方程式の一般論を参照)
......[] ・・・C

(2)() 直線@と曲線 ・・・D の共有点を考えますが、Dは、
のとき、
のとき、A
なので、
()と同じ条件で良いのは、Bがの範囲に解をもつ場合です。これは、Bの左辺をx2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置という範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、
......[]
これは、直線@の傾きの絶対値が大きい場合には、直線のy切片bがCの()の条件を満たせば、@とDを連立するときに、の範囲に解をもつことを意味します。

() のときには、直線@の傾きが緩やかで、曲線Aのの部分と共有点をもたないことがあり得ます。
のときは、右図(橙色の線)より、直線@が点から上を通過すれば、直線@と曲線Dが共有点をもちます。よって、

 ・・・E
のときは、右図(水色の線)より、直線@が点から上を通過すれば、直線@と曲線Dが共有点をもちます。よって、

 ・・・F
E,Fを合わせて、aの正負に限らず、
......[]
(3)(タチ) のときに、ということは、のときには、問題文より、

即ち、
@とを連立すると、

 ・・・G
Gは、判別式,つまり、であれば実数解をもちます。
Gの左辺を
x2次関数と見るとき、その軸の位置の範囲にある、つまり、であれば、直線@とは、の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値はであり、
よって、()() ......[]

() のときは、右図より、直線@が原点から上を通過すれば、直線@とが共有点をもちます。よって、

このとき、 ......[]


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