慶大理工数学'08年[A3]

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(1) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと　ス　である。

(2) 実数aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つための切片bの条件は、　セ　のとき　ス　であり、　セ　のとき　ソ　となる。

このように、aを固定したとき、直線と曲線が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものをと書くことにする。たとえばならば＝−(　ス　)である。

(3) とする。と定めて、aを変数xで書き換えた関数に対してを考える。　タ　のとき＝　チ　であり、　タ　のとき＝　ツ　である。

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解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。

(1)(ス) 直線　･･･�@　と、曲線　･･･�A　が共有点をもつとき、�@，�Aを連立して、

　･･･�B

の判別式について(2次方程式の一般論を参照)、

∴ ......[答]　･･･�C

(2)(セ) 直線�@と曲線　･･･�D　の共有点を考えますが、�Dは、

のとき、
のとき、�A
なので、(ス)と同じ条件で良いのは、�Bがの範囲に解をもつ場合です。これは、�Bの左辺をxの2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置がという範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、

......[答]

これは、直線�@の傾きの絶対値が大きい場合には、直線のy切片bが�Cの(ス)の条件を満たせば、�@と�Dを連立するときに、の範囲に解をもつことを意味します。

(ソ) のときには、直線�@の傾きが緩やかで、曲線�Aのの部分と共有点をもたないことがあり得ます。

・のときは、右図(橙色の線)より、直線�@が点から上を通過すれば、直線�@と曲線�Dが共有点をもちます。よって、

∴ 　･･･�E

・のときは、右図(水色の線)より、直線�@が点から上を通過すれば、直線�@と曲線�Dが共有点をもちます。よって、

∴ 　･･･�F

�E，�Fを合わせて、aの正負に限らず、

......[答]

(3)(タチ) のときに、ということは、のときには、問題文より、

即ち、

�@とを連立すると、

　･･･�G

�Gは、判別式，つまり、であれば実数解をもちます。
�Gの左辺をxの2次関数と見るとき、その軸の位置がの範囲にある、つまり、であれば、直線�@とは、の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値はであり、

よって、(タ)が，(チ)が ......[答]

(ツ) のときは、右図より、直線�@が原点から上を通過すれば、直線�@とが共有点をもちます。よって、

∴
このとき、 ......[答]

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