慶大理工数学'08[A2]

(1) さいころを続けてn回投げるとき、6の約数の目が奇数回出る確率をとする。たとえば、 カ である。のときの間には キ という関係式が成り立つ。これよりnを用いてをあらわすとである。
(2) さいころを続けて100回投げるとき、1の目がちょうどk ()出る確率はであり、この確率が最大になるのはk コ のときである。
次に、さいころを続けてn回投げるとき、1の目がちょうどk ()出る確率を考える。nを固定したとき、この確率を最大にするようなkの値が2個存在するための必要十分条件は、n サ で割ったときの余りが シ となることである。

解答 この問題も[A1]と同様、平凡な頻出パターンの問題です。()k回出る確率と回出る確率の比を考えます。

(1)() さいころを2回投げて、6の約数の目が奇数回出るのは、1回目に1236が出て、2回目に45が出るか、1回目に45が出て、2回目に1236が出る場合で、その確率は、
......[]

() n回目までで、6の約数の目が奇数回出るのは、
(i) 回目までで、6の約数の目が奇数回出て、n回目に45が出る、か、
(ii) 回目までで、6の約数の目が偶数回出て、n回目に1236が出る、
場合です。
(i)の確率は、 (独立事象の確率を参照)
(ii)の確率は、
(i)(ii)排反なので、
∴、
......[] ・・・@ (2項間漸化式を参照)

() @のαと置き換えると、
 ・・・A

@−Aより、
よって、は、初項:,公比:等比数列

......[]

(2)() さいころを100回投げて、1の目がちょうどk()出る確率は、
 (反復試行の確率を参照)
......[
]

()
 ・・・B
とすると、

Bにおいて等号成立はのとき(kは自然数なので、こういうことは起こらない)だけで、だから、
これより、が最大になるのは、 ......[] のとき。

(サシ) さいころをn回投げて、1の目がちょうどk()出る確率は、

とすると、
 ・・・C
Cの等号が成り立つ
kの値が存在しない場合、として、
このときは、を最大にするkの値は1個しかありません。
Cの等号が成り立つ
kの値が存在する場合、として、
このときは、を最大にするkの値は、2個あります。
従って、を最大にする
kの値が2個存在するための必要十分条件は、
,つまり、
n6で割ったときの余りが5となることです。
よって、
()6()5 ......[]


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