慶大理工数学'08[A1]

(1) とする。xy平面上で
   
により定められる部分
Aの面積は ア である。また空間内でx軸のまわりにA1回転させてできる回転体の体積は イ である。この体積はa ウ のときに最大となる。
(2) t を実数とする。空間内の2PQを通る直線とxy平面との交点はR (t エ 0)である。t の範囲を動くときに点Rが描く曲線をCとする。xy平面上で、x軸,y軸とCとにより囲まれた部分の面積は オ である。

解答 素直な微積の計算問題です。(1)(2)も曲線はx軸と交差しないので、積分区間を分けるというような心配もありません。

(1)() 部分Aの境界線:は、

と書き直せます。なので、Aの面積は(定積分と面積を参照)
 (不定積分の公式を参照)

......[
]

() 回転体の体積Vは、
 (x軸のまわりの回転体を参照)
とおく(置換積分を参照)と、より、
xのとき、u



......[]

() とおくと、
 (3次関数の最大最小を参照)
a0

1

00




増減表より、Vは、 ......[] のときに最大です。

(2)()
直線PQベクトル方程式(空間ベクトルを参照)
とすると、
()
......[
]
() より、
のとき、です。
求める面積
Sは、
ここで、積分計算し易い分母の形にするために、とおきます(置換積分を参照)
xのとき、u
......[]


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