慶大理工数学
'07
年
[B1]
(1)
を満たす
3
次式
と、
を満たす
4
次式
を求めなさい。また、多項式
で、
を満たすものを求めなさい。解答欄には答だけを書くこと。
(2)
を
(1)
で求めた多項式とする。
とするとき、
であるためには、
または
または
であることが必要十分であることを証明しなさい。
(3)
の値を求めなさい。値だけでなく、なぜそうなるのかも書くこと。
自然数
n
に対して、
で与えられる
n
次多項式
をチェビシェフの多項式と言います。
の定義域、値域とも、
,
となっていて、
のグラフが
,
の正方形の領域にすっぽりと収まるのでハンドリングし易く、入試でもよく採り上げられます。
(1)
は
3
倍角の公式で構わないのですが、
も求めるので、
,
ともに、
2
倍角の公式を使って求めることにします。
,
(
2
倍角の公式
を参照
)
(
三角関数の諸公式
を参照
)
,
......[
答
]
を
で割る除算を実行することによって、
・・・@
......[
答
]
(2)
@において、
x
を
に入れ替え、
和を積に直す公式
を用いると、
・・・A
これより、
とすると、
または
より、
より、
よって、
(
三角関数を含む方程式
を参照
)
Aにこの
θ
の値を代入すると、
になるので、
@において、
とすると、
,
,
,
は、互いに異なる値になります。
より、
は、
の解ではありません
(
因数定理
を参照
)
。
従って、
,
,
は、
3
次方程式
の異なる
3
個の解であり、
3
次方程式は高々
3
個の解しか持たない
ので、
3
次方程式
の全ての解です。
以上より、
とするとき、
であるためには、
または
または
であることが必要十分です。
(
証明終
)
(3)
,
,
とおくと、
の係数を比較することにより、
......[
答
]
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