慶大理工数学'07年[A2]
(1) 2つの行列AとPを
，
とする。ただし、a，b，kはいずれも実数で、であり、Pは逆行列をもつとする。このとき、αとβ を実数として
となるように定数kの値を定めると、　キ　である。また、αとβ をaとbを用いて表すと、　ク　，　ケ　となる。したがって、行列Aのn個の積を
とすると、a，b，nを用いて、　コ　，　サ　と表すことができる。
(2) であるような実数tに対し、行列Aと、座標平面上の点， を、，，
，，
と定義する。このとき、すべてのnについてを満たすtの値の範囲を不等式で表すと、　シ　となる。この場合、としても点は原点には近づかない。のときに点が原点に限りなく近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと、　ス　となる。
解答　α，β は、行列Aの固有値で、行列Aの対角化をベースにした問題ですが、等比数列の収束条件をからめた計算問題に過ぎません。基礎のしっかりした受験生なら手が止まるところはありません。
式が長くならないように、α，β，γ，δに結果を代入してしまわないで、α，β，γ，δを使って、計算を進めていくのがコツです。

(1) (キ)　の左からPをかけると(行列の対角化を参照)、
つまり、
　(行列の積を参照)
∴ 　･･･①，　　･･･②，　　･･･③
②×k－③より、
より、
では、となり、より、が存在しなくなるので、　(逆行列を参照)
∴
......[答]
(ク)　①より、
......[答]
(ケ)　②より、
......[答]
(コ)　(キ)より、
の両辺をn乗すると、
，
より、
　(行列の累乗を参照)
左からP，右からをかけて、
(ク)，(ケ)より、
，
......[答]
(サ)　 ......[答]

(2) (シ)　(1)のAにおいて、，，，として考えます。
より、
，
すべてのnについてより、
∴
......[答]
このとき、，より、のとき、，となり、点は、原点に近づきません(等比数列の極限を参照)。
(ス)　のとき、が原点に近づくことより、
，，，
よって、 かつ 　(等比数列の極限を参照)
∴ かつ
∴ かつ
......[答]

　　　慶大理工数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元