とする。実数aに対して、
を最小にするようなaを
とするとき、
ア ，
イ である。
と、実数b，cに対して、
を最小にするようなb，cをそれぞれ
，
とすれば、
ウ ，
エ である。
(
)個の三角形のうち、鈍角三角形の個数は オ 個である。一般に、正整数nに対して、正
角形の3つの頂点でできる鈍角三角形は、全部で カ 個ある。
，
であり、Pは逆行列
をもつとする。このとき、aとb を実数として
キ である。また、aとb をaとbを用いて表すと、
ク ，
ケ となる。したがって、行列Aのn個の積
を
コ ，
サ と表すことができる。
であるような実数tに対し、行列Aと、座標平面上の点
，
を、
，
，
，
，
を満たすtの値の範囲を不等式で表すと、 シ となる。この場合、
としても点
は原点には近づかない。
のときに点
が原点に限りなく近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと、 ス となる。
[A3] 図のように、座標平面上に2点A
，B
が与えられている。また、原点Oを中心とした半径1の円周上に、
が0以上
以下であるような点Pがある。
)で移動するものとする。
(
)とし、動点XがAからBへ至る所要時間を
とする。
を用いて表すと、 セ となる。
の導関数は
ソ 
が
のとき最小となるためには、
タ となることが必要十分である。
とおくとき、
をq の式で表すと、
チ となる。
タ とするとき、
が最小となるようにq を選ぶと、aとkの間には、 ツ という関係が成立する。
テ 
(Cは積分定数)
と
を結ぶ直線を考える。時刻t が0から2まで進むとき、この直線群が作る曲面とxy平面、yz平面、平面
によって囲まれる立体をDとする。
(
)によるDの断面積を
とするとき、
ト ，
( ナ )
ニ である。
(
)とおいて、
をfの逆関数とする。このとき、回転体Kの体積Vは
であることに注意して置換積分法を適用した上で、(1)の不定積分などを用いて、
ネ を得る。
を満たす3次式
と、
を満たす4次式
を求めなさい。また、多項式
で、
を(1)で求めた多項式とする。
とするとき、
であるためには、
または
または
であることが必要十分であることを証明しなさい。
の値を求めなさい。値だけでなく、なぜそうなるのかも書くこと。
の最小の方では、b，cの2変数関数の最小問題になりますが、b，cの各々について2次関数の形になるので、b，cそれぞれについて平方完成を行います。
，
という形が出てくるので、それぞれのカッコ内が0のときに最小になる、とすれば解決します。最近、少々珍しいですが、以前は頻出技巧でした。
，
，･･･，
のようにn個与えられているとします。xとyの関係が仮に
になるとして、各データごとに、直線からのズレを調べます。このとき、単なるズレ：
(
)を加え合わせてしまうと、うまくa，bを求めることができません。プラスにズレるものとマイナスにズレるものとで相殺してしまって、ズレを加え合わせると、ズレの総和がほぼゼロになってしまうからです。
(
)を考えます。2乗であれば必ず0以上になるので、各データの直線からズレは足していけば累積します。ズレの2乗の総和：
･･･①
が得られます。そうは言っても、①は複雑な式になるのではないか、という気がするかも知れません(フーリエ級数をネタにした同様な問題が'94年九大理系前期[4]にあるのですが、この問題を演習課題に出したら、先生、この問題やめようよ、と、言ってきた生徒がいました。大した計算じゃないよ、と、私に説得された彼は、慶大理工に進学しました)が、面倒でも展開して足し直してみると、
，
，
，
，
とおくと、
，
を満たすようにa，bを決めればよいことになります。この手法を最小自乗法と言います。
に応用するとどうなるでしょうか？区間
において、曲線
を最もよく近似する直線の式：
を求めたいとします。区間
内の各xにおける
の2乗の総和を求めて足し合わせれば良いのですが、ここで、
において、曲線
に最も近い直線：
を求めよう、と、言っているのです。直線はhを用いて、
の極限を答えさせるようにしたのでしょう。
の最小値を与えるaが、
における
の平均値だと言っているのです。実際、
の幅
で割ると、
の最小値を与えるaの値、
(アの答)
で、
とすれば、(オ)の答54が出てきます。試験場でも、最初から一般的な正
角形の場合で考えて、
を代入して(オ)を答えた受験生も多いと思います。
の固有値は、
，
，aに対する固有ベクトルは
，b に対する固有ベクトルは
となります(
なので、
)。つまり、
，
，
，
が1次独立なので、xy平面上の点Xの位置ベクトル
は、c，dを実数として、
として、点
の位置ベクトル
について、
･･･①
上の点である場合(kを実数として、
)には、
も直線
上の点です。
上の点である場合(kを実数として、
)には、
も直線
上の点です。
を行列Aの表す1次変換の不動直線と言います(‘97年までの入試範囲でした)。
は原点以外の点だとして、①式に沿って考えます。
のとき、
，
，
，
は、
のとき、原点から遠ざかって行きます。
のとき、
，
，
より、
は、
のとき、直線：
上を動きながら、原点から遠ざかって行きます。
のとき、
，
，
，
は、
のとき、直線：
に漸近しながら原点から遠ざかって行きます。
のとき、
，
，
より、
は、
のとき、直線：
上を動きながら、
(直線：
に漸近)となります。
のときが、本問の場合ですが、
のとき、
となります。
のとき、
，
は、
のとき、直線：
，
上を交互に動きながら、直線：
に漸近します(
と
を往復する感じになる)。
のとき、
，
，
は、
のとき、直線：
に漸近しながら原点から遠ざかります(第4象限と第2象限を往復する感じになる)。
のとき、
，
は、
のとき、直線：
，
上を交互に動きながら、直線：
から遠ざかります。
のとき、
，
は、
のとき、原点をまたぐように往復しながら原点から遠ざかっていきます。
のときに最小となる限界においては、
になるだろう、それなら、
がさかい目だろう、ということで、必要十分条件かどうかはさておいて、(タ)の解答欄に
と書き込んでしまうのが実戦上では良いと思います(だから、慶大理工は空所補充式をやめるべきだと私は思うんですね)。
で進んできた光が入射角aで境界面に入射して屈折し、屈折角b で媒質Ⅱ中に入ると速さ
で進む)
，
とする。L上の任意の点をXとする。Aを出発してAX上を速さ
でXB上を速さ
で動く点Pがある。点XでLに立てた垂線と線分AX，BXとのなす角をそれぞれa，b とするとき、点Aから点Bまで動点Pが最小時間で達するならば、
が成り立つことを証明せよ。ただし、線分
，
，
，
の長さをそれぞれ、a，b，c，xとする。(一部省略)
，
･･･①
，
･･･②
，
，
･･･③
，
より、AからBまでの所要時間t は、
は最初負の値で単調に増加して正となります。
となり、
が成り立ちます。
で屈折角は
です。上記の屈折の法則にあてはめると、
となります。
という形の積分が出てきますが、
と置換すれば積分できてしまう、というわけで、一つ一つを取れば、教科書レベルの事項です。次から次へと大波が押し寄せてくるので、息長くへこたれずに頑張れるか、ということが問われているわけです。
は、xのn次式となり、チェビシェフの多項式と言います。
は、xの
次式となり、こちらもチェビシェフの多項式と言います。
，
，･･･
，
，･･･
をxと書き換えて、
，
，･･･
，
，･･･
，
，･･･ と順次求めてゆくのに便利な公式があります。和を積に直す公式を用いて、
･･･①
も①と同形の漸化式に従います。
とすると、
の範囲では、
より、
の解から
を除いて考えれば、方程式：
，
～
あたりを見ていると、最高次の係数がだんだん2倍されていることがわかります。漸化式①の
に2がかけられているからですが、
が最高次の項の係数が
のn次式となることは、数学的帰納法で簡単に証明できます。
とすると、
の範囲では、
(
)となりますが、
はn次方程式なので、
の範囲で
が単調であることを考えると、
(
)が、
のすべての解になります。
(kは
をみたす整数)のとき、
となるので、
(kは
をみたす整数)のとき、
となるので、
のグラフは、
，
，
より、
，
をみたす正方形の領域にすっぽりと収まり、
，
においては、単調なグラフとなります。
と
の2点を通り、この間で、
と
の間を
往復半し、x軸とn回交わります。
と
の2点を通り、この間で、
と
の間を
往復し、x軸とn回交わります。
の両辺をq で微分すると、合成関数の微分法を用いて、
(
は
を
で微分することを意味します)
となるようなq において、
(
)のとき、
(複号は、kが奇数のとき＋，偶数のとき－)
について書いてきましたが、本問は、これらを熟知していなければ解けない、という問題ではありません。
が扱いやすい関数になるので、入試問題の題材としてよく取り上げられるのですが、せいぜい、
，
の正方形の中にグラフがすっぽりと収まる、お行儀の良い関数だ、ということくらいを知っていれば解けるものがほとんどで、上記の内容を暗記しようなどとは間違っても思わないようにしてください。読み流して理解できていれば充分です。| (Ｃ)2005,2006,2007,2008,2009 (有)りるらる | CFV21 随時入会受付中！ CFV21ご入会は、まず、 こちらまでメールをお送りください。 |
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