慶大理工数学'06[A3]

座標平面の原点Oを中心とする単位円周上に3ABCをとる(下図を参照)。ただし、とする。以下、()()を用いて、()()を用いて記述しなさい。
線分
ABy軸との交点をD,線分BCy軸との交点をEとすると、線分OD,線分OEの長さはそれぞれである。
この
xy平面を含む座標空間において、正三角形ABC内の各点から、xy平面と垂直に、高さがその点のx座標の絶対値である線分を立てて得られる立体図形を考える。頂点ABCの上にある線分の最上点をそれぞれFGHとすると、三角錐OADFの体積は,四角錐OACHFの体積は セ となる。
ACDEFHを頂点にもつ五面体の体積は、これら2つの錐体および三角錐OCEHの体積の和であり、 ソ となる。また、三角錐BDEGの体積は タ となる。

解答 立体図形の問題ですが、誘導通りに進めれば手強くありません。なお、三角比三角形の面積を参照してください。

() 原点Oから辺ABBCCAに下ろした垂線の足をJKLとします。
 ()
右図より、



......[]

() より、

......[]

() 三角錐OADFを、底面:,高さ: (=点Ax座標の絶対値)の三角錐と見ると、


三角錐OADFの体積は、

......[]

() 四角錐OACHFを、右図の台形ACHFが底辺、高さ:の四角錐と見ると、台形ACHFの面積は、 (=点Cx座標の絶対値)より、


四角錐OACHFの体積は、
......[]

() 三角錐OECHを、底面:,高さ:の三角錐と見ると、より、


三角錐OECHの体積は、


ACDEFHを頂点にもつ五面体の体積Vは、




......[]

() 三角錐BDEGを、を底面とし、高さ: (=点Bx座標の絶対値)の三角錐と見ると、

三角錐BDEGの体積は、

......[]


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