慶大理工数学'05[A3]

平面上に4KEIOがある。Kは動点で、その座標が時刻t ()の関数としてで与えられている(aは正の実数)EIOは定点である。2EIを通り、直線に第1象限で接する円の中心の座標は( サ  シ )である。円周角の性質から、が最大となるのはt ス のときである。そのときの線分OKの長さをとするとき、 セ  ソ である。

解答 ()() 2EIを通る円の中心Cは線分EIの垂直2等分線:上にあります。Cの座標はと表せます。
円と直線が接するので、円の中心Cとの距離は、半径、即ち、に等しく(円と直線の位置関係参照)
(点と直線の距離の公式)
分母を払い両辺を2乗すると、
整理して、
 ()

2
解のうち、第1象限で接するのは±が+の方で、
・・・@
求める円の中心の座標は、 ......[]

() 線分EK(1)の円との交点をDとすると、Kは円周上または円の外側の点なので、
ここで、同一弧EIの上に立つ円周角は一定で、等号が成立する(が最大)のは、Kが円周上の点のときで、そうなるのは、Kが直線と円との接点になるときです。
従って、円の中心
Cを通り直線と垂直な直線mと、との交点を求めればよく、
直線
m (2直線の平行・垂直を参照)
と連立して、

(@を使ってcを消去)
このときのtの値も、 .......[]

() このとき、Kからx軸に下ろした垂線の足をHとすると、KHOHa1より、
OHOK1
......[]
これより、の最大値を与える点Kは、原点を中心とする半径の円周上にあることがわかります。 ・・・A

() のとき、直線y軸に近づきます。
このとき、Aより、の最大値を与える点Ky軸ととの接点Fに近づきます(右図参照)
......[]


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