慶大理工数学'05年[A2]

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点Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。

(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)。

(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標の点か、または座標の点のどちらかに、それぞれの確率で移動する。

正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)をで表す。たとえば、，，＝　カ　，＝　キ　である。すると、は漸化式＝　ク　をみたす。したがって、をnの式で表すと　ケ　となり、＝　コ　である。

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解答　(カ) 右の樹形図は、枝1本の確率はすべて

樹形図より、 ......[答]　(独立試行の確率を参照)

(キ) ......[答]

(ク) 座標nの点に来るのは、座標の点から直接nに来るか、座標の点からnに来るかのいずれかで、この両者は排反です。座標の点，座標の点に来る確率はそれぞれ，であり、そこから各々の確率でnに来るので、座標nに来る確率は、

......[答] ･･･�@

これは3項間漸化式です。

別解　座標nの点を飛び越える(確率)事象は、座標の点にいる(確率)ときに確率で起こります。よって、

∴ ......[答]　･･･�C
とすることもできます。これは2項間漸化式です。

(ケ) �@の特性方程式は、

∴

�@ ⇔
これより、数列は、初項，公比の等比数列。
よって、 ･･･�A

�@ ⇔

よって、 ･･･�B

�B−�Aより、
∴ ......[答]

別解　(ク)で�Cの方を解答とした場合には、とをαで置き換えた1次方程式、

　･･･�D

より、
�C−�Dより、
は、初項：，公比：の等比数列で、

∴ ......[答]
となります。

(コ) のときより、 ......[答]　(数列の極限を参照)

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