慶大理工数学'05[A2]

Pが数直線上の整数点(座標が整数である点)を次の規則にしたがって正の方向に移動していく。
(i) 最初の時点でのPの座標は0である(Pは原点Oの上にある)
(ii) ある時点でのPの座標がkのとき、次の時点でPは座標の点か、または座標の点のどちらかに、それぞれの確率で移動する。
正の整数nに対して、ある時点でPの座標がnとなる確率(すなわち、Pが座標nの点を飛びこえてしまわない確率)で表す。たとえば、 カ  キ である。すると、は漸化式 ク をみたす。したがって、nの式で表すと ケ となり、 コ である。

解答 () 右の樹形図は、枝1本の確率はすべて
樹形図より、 ......[] (独立試行の確率を参照)

() ......[]

() 座標nの点に来るのは、座標の点から直接nに来るか、座標の点からnに来るかのいずれかで、この両者は排反です。座標の点,座標の点に来る確率はそれぞれであり、そこから各々の確率でnに来るので、座標nに来る確率は、
......[] ・・・@
これは3項間漸化式です。

別解 座標nの点を飛び越える(確率)事象は、座標の点にいる(確率)ときに確率で起こります。よって、
......[] ・・・C
とすることもできます。これは
2項間漸化式です。

() @の特性方程式は、


@
これより、数列は、初項,公比等比数列
よって、
・・・A

@
よって、 ・・・B

B−Aより、
......[]

別解 ()でCの方を解答とした場合には、αで置き換えた1次方程式、
 ・・・D
より、
C−Dより、
は、初項:,公比:の等比数列で、
......[]
となります。

() のときより、 ......[] (数列の極限を参照)


   慶大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元