慶大理工数学
'05
年
[A1]
空間内の
xy
平面上において
(
)
で表される曲線を
C
とする。
C
上の点
P
をとり、原点から
P
までの曲線の長さを
s
とする。空間内で
P
の真上に点
Q
をとる。
(1)
曲線の長さ
s
を
x
の関数として
で表す。
=
ア
であり、また
とおくと、
=
イ
であるから、
=
ウ
となる。したがって、線分
PQ
の長さは
x
の関数
となり、特に
=
エ
である。
(2)
点
P
から
x
軸へおろした垂線の足を
R
とし、
PQ
と
PR
を
2
辺とする長方形を
の範囲で動かして立体をつくる。このとき、この立体の体積は
オ
である。
解答
この問題の曲線の長さは、現行課程では範囲外です。
(
ア
)
,
......[
答
]
(
微分の公式
、
合成関数の微分法
を参照
)
(
イ
)
,
......[
答
]
(
ウ
)
曲線の長さ
:
においては、
より、
(
イ
)
の結果を使って、
,
(
)
より、
.......[
答
]
(
エ
) (
ウ
)
の結果
より、
これより、線分
PQ
の長さは、
......[
答
]
(
オ
)
長方形の面積
は、
立体の体積
V
は、
とおいて
置換積分
します。
,
x
:
のとき、
u
:
∴
.......[
答
]
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