慶大理工数学'05[A1]

空間内のxy平面上において ()で表される曲線をCとする。C上の点Pをとり、原点からPまでの曲線の長さをsとする。空間内でPの真上に点Qをとる。
(1) 曲線の長さsxの関数としてで表す。 ア であり、またとおくと、 イ であるから、 ウ となる。したがって、線分PQの長さはxの関数となり、特に エ である。
(2) Pからx軸へおろした垂線の足をRとし、PQPR2辺とする長方形をの範囲で動かして立体をつくる。このとき、この立体の体積は オ である。

解答 この問題の曲線の長さは、現行課程では範囲外です。

() ......[] (微分の公式合成関数の微分法を参照)

()
......[]

() 曲線の長さ
においては、より、
()の結果を使って、
()より、
.......[]

() ()の結果より、
これより、線分PQの長さは、

......[]

() 長方形の面積は、
立体の体積Vは、
とおいて置換積分します。
xのとき、u
.......[]


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