逆関数の微分法

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xからyへの対応が、xの1つの値に対して?yの値がただ1つ定まるとき、関数

を定義することができる。
このとき、yの1つの値に対してxの値がただ1つ定まるとき、yからxへの対応を考えて関数を考えることができる。この関数を

の逆関数と言い、

と表す(逆関数を参照)。
yを

に書き換えて、

が成り立つ。

[証明]　

のとき

yを

で置き換えて、

この両辺をxで微分する。
右辺の微分は合成関数の微分法により、

左辺の微分は、

よって、

∴

　(証明終)

上記の公式では、何のことかわけがわからないので、

をyと書き、

(

をxで微分したと見る)

(

をyで微分したと見る)
として、
逆関数の導関数の公式：

(分数の計算のように考える)の形で覚えましょう。

例1．

の逆関数

の導関数は、

　(yをxで表しても簡単な形にならないので、このままでOK)

例2．(1)

で定義された

の逆関数(

と書きます)の導関数は、

注．これより、

(C：積分定数)　(置換積分(その2)を参照)
(2)

で定義された

の逆関数(

と書きます)の導関数は、

注．これより、

(C：積分定数) 　(置換積分(その2)を参照)

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