逆関数の微分法   関連問題


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xからyへの対応が、x1つの値に対して?yの値がただ1つ定まるとき、関数を定義することができる。
このとき、
y1つの値に対してxの値がただ1つ定まるとき、yからxへの対応を考えて関数を考えることができる。この関数を逆関数と言い、と表す(逆関数を参照)
yに書き換えて、が成り立つ。


[証明] のとき
yで置き換えて、
この両辺を
xで微分する。
右辺の微分は
合成関数の微分法により、
左辺の微分は、
よって、
 (証明終)

上記の公式では、何のことかわけがわからないので、yと書き、
(xで微分したと見る)
(
yで微分したと見る)
として、
逆関数の導関数の公式:

(分数の計算のように考える)の形で覚えましょう。

1の逆関数の導関数は、
 
(yxで表しても簡単な形にならないので、このままでOK)

2(1) で定義されたの逆関数(と書きます)の導関数は、

注.これより、
(C:積分定数) (置換積分(その2)を参照)
(2)
で定義されたの逆関数(と書きます)の導関数は、

注.これより、
(C:積分定数)  (置換積分(その2)を参照)


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