中間値の定理   関連問題


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

中間値の定理:閉区間において連続な関数について、,または、を満たすpに対して、を満たすcが存在する。

[証明]のときは、またはとすればよいので明らか。
のとき、として、となる
c(より、とかということはあり得ない)存在しない ・・・@ と仮定します。
ここで、関数として関数を考えると、において、は連続な関数であり、なので、もまた連続な関数です。

最大値・最小値の定理により、は、において、最大値、最小値をもちます。
より、は正の値も負の値もとる関数です。従って、の最大値
Mであり、最小値mです。
より、かつ,であって、つまり、は、となる値をとり得ません
(に注意)
は正の値も負の値もとる関数であり、より、であって、においてにおいてとなる
αβγが必ず存在します(正確には、実数の稠密性が前提になっています)
このとき、においてより、,また、においてより、

これは、が存在しないこと、さらに、,即ちにおいて連続でないことを意味しており、において連続であることに反します。
よって、仮定@は誤りです。
従って、のとき、として、となる
cが存在します。
の場合も同様です。 
(証明終)

例.方程式:の範囲に実数解をもつことを示す。
[解答] とおくと、
中間値の定理により、は、の範囲に実数解をもちます。



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学基礎事項TOP  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。