積分法

 数学Vの積分では、三角関数、指数関数、対数関数を含む関数の積分も扱います。これらの積分には、置換積分法、部分積分法などの技巧が必要になります。また、区分求積法により、積分の原理を学びます。
 積分法を応用することにより、面積、体積、曲線の長さなどの計算を行うことができます。ここでは、種々の曲線について、面積、体積の計算を行った例も取り上げます。
 この項目では、
不定積分定積分定積分の公式定積分と微分定積分と面積絶対値を含む積分の項目も参照してください。

ここで学習する内容は、以下の通りです。各項目をクリックしてください。


不定積分の公式  ()
置換積分 そのままの形では積分計算ができなくても、被積分関数の中の式を文字に置き換えたり、文字を式に置き換えたりすると、積分計算が行える場合があります。の置き換えを扱います。
置換積分(その2) では、とおき、では、とおくとうまくいくことがあります。
部分積分法 公式:により積分が行える場合があります。
定積分の漸化式 というタイプの漸化式を考えます。の漸化式:
偶関数・奇関数の積分 が偶関数であるとき、が奇関数であるとき、
三角関数の積分 という形の積分は、nに入る自然数によって計算のしかたを工夫する必要があります。
分数関数の積分 分母、分子がxの整式であるような分数関数は、部分分数に分けることによって積分を実行します。
置換積分(その3) の置き換えを扱います。
定積分と微分(その2) 
区分求積法 定積分が面積を表していることを確認します。無限級数を定積分に変換する公式:
定積分と不等式 のとき、
階段関数と不等式 のような数列和は求められないので、定積分を利用して不等式で評価します。
コーシー・シュワルツの不等式 
定積分と面積(その2) 数学Uでは扱わなかった関数のグラフについて面積を考えます。
定積分と体積 断面積をとして、によって立体の体積を計算することができます。
x軸のまわりの回転体 x軸のまわりの回転体の体積は、として計算できます。
y軸のまわりの回転体 y軸のまわりの回転体の体積は、として計算できます。円筒分割にも触れます。
斜回転体 曲線を直線:のまわりに1回転させたときにできる回転体の体積を求める方法を考えます。
曲線の長さ 曲線:の長さは、として計算できます。
サイクロイド で与えられる曲線をサイクロイドと言います。
アステロイド で与えられる曲線をアステロイドと言います。
カージオイド  () で与えられる曲線をカージオイドと言います。
エピサイクロイド で表される曲線をエピサイクロイドと言います。
ハイポサイクロイド で表される曲線をハイポサイクロイドと言います。
物理への応用 微積分を使って物理の問題を考えます。ここでは、速度、加速度、等加速度運動、等速円運動を扱います。
物理への応用(その2) 「物理への応用」の続きです。ここでは、単振動、また、速度に比例する抵抗力が働く運動を扱います。
減衰振動関数 「物理への応用(その2)」で出てくる減衰振動関数は、大学入試でも頻出です。グラフ、面積を考えます。
フーリエ級数 関数を正弦・余弦の級数和として表すという技巧があります。それに必要となる定積分の計算法を学びます。
積分方程式 積分を含む等式を積分方程式を言います。ここでは、大学入試に出題されるレベルのものを扱います。
微分方程式 導関数や元の関数を含む等式を微分方程式と言います。変数分離型などの簡単なものを扱います。
微分方程式(その2) 微分方程式のうちでやや技巧の必要な、線形1階、線形2階の微分方程式を扱います。


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