整数    関連問題

指を折って1つ,2つ,3つ,・・・,と数えられる数を自然数と言います。

2つの自然数nm ()を持ってきたとき、は自然数になりません。
のとき、
のとき、は自然数ですが、
kを使って、と書くと約束されています。自然数k正の整数負の整数と呼ぶと約束します。
正の整数,
0,負の整数を合わせて、単に整数と呼びます。


整数は、和+、差−、積×について閉じています。
つまり、
2つの整数nmを持ってくると、のいずれもまた整数になるという性質を持っています。

ですが、商÷については、閉じていません。は整数になるとは限りません。
整数
kがあって、と書けるとき、つまり、となるとき、nmで割り切れると言います。
このとき、
nm倍数と言い、mn約数と言います。

全ての整数は
1の倍数であり、1は全ての自然数の約数です。
2の倍数を偶数、2の倍数でない整数を奇数と言います。2の倍数は1の位の数字が偶数です。
全ての整数について、
0をかけると0になるので、0は全ての整数の倍数です。

自然数
n10進法で表したとき、として、各桁の数字(,・・・,は整数、,・・・,)の和とします。
N3の倍数 n3の倍数
N9の倍数 n9の倍数
nの下2桁が4の倍数 n4の倍数
n1の位の数字が05 n5の倍数


整数
nが、整数mkr (ただし、とします)を用いて、
・・・@
と書けるとき、
のときには、
nmで割り切れますが、
のときには、
nmで割り切れません。このときにrを余りと言います。
@式は、整数の問題でよく使われる式です。という具合にすぐに思い出せるようにしておきましょう。は商が
2,余りが3です。


定理 任意の整数
nと、自然数mについて、 ()を満たす整数krはただ1通りに決まる(これを、「kr一意的」と言います)

証明 仮に、となる整数sを用いて、
・・・A
・・・B
2通りに書けたとします。
A−Bより、
つまり、
・・・C
となりますが、この式は、の倍数であることを意味しています。
ところが、なので、です。
より大きく
mより小さいmの倍数は0しかありません。つまり、Cより、かつ
つまり、かつです。
これは、Aの形となる整数
kr ()がただ1通りに決まることを意味しています。(証明終)


2
つの整数mnに対して、mの倍数であって、かつ、nの倍数である整数をmnの公倍数と言います。
mnが自然数のときに、公倍数の中で最小のものを最小公倍数と言い、と書きます。
2つの整数mnに対して、mの約数であって、かつ、nの約数である整数をmnの公約数と言います。
mnが自然数のときに、公約数の中で最大のものを最大公約数と言い、と書きます。

2つの自然数mnの最大公約数が1のとき、mn互いに素であると言います。
1と自分自身以外の約数を持たない自然数を素数と言います。素数を小さい順に並べると、23571113171923293137414347,・・・・・・
自然数
mをいくつかの素数pq,・・・,rの積の形 (ij,・・・,kは自然数)に表すことを素因数分解と言います。
abの小さくない方をで表すことにします。つまり、
 
です。同様に、
abの大きくない方をで表すことにします。つまり、
 
です。

2つの自然数mnの素因数分解が、だとすると、
mnの最小公倍数は、
mnの最大公約数は、
です。

例.
5472の最小公倍数と最大公約数を考えます。
54の素因数分解は、
72の素因数分解は、
両者の
2指数を比べると、54では172では3です。大きい方が3,小さい方が1で、です。
3の指数を比べると、54では372では2です。
従って、
5472の最小公倍数は、
5472の最小公倍数は、

ところで、です。なぜなら、
のときは、で、です。
のときは、で、です。
のときも、で、です。

これより、
2つの自然数mnの素因数分解が、だとして、




となり、

例,
5472の最小公倍数は,最大公約数は
です。

自然数
nの素因数分解を (は自然数)とすると、nの約数は、 (は整数であって、,・・・)個あります。
約数の総和は、
例えば、の約数は、,・・・,個あります。

504の約数の総和は、です。



   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元