例1．
，
のグラフが、
の範囲で囲む部分の図形の面積を求める。
として、
，
，
のグラフは、
に関して対称だから、求める面積Sは、
において、両グラフが囲む部分の面積の2倍に等しい。
......[答]
例2． 2曲線、
，
が
において接するようにa，bを定め、2曲線とx軸，y軸とで囲まれる部分の面積を求める。
，
として、
と
が
において接する ⇔ 
･･･① かつ 
･･･②
，
とx軸，y軸，
で囲まれる部分の面積から、
とx軸，
で囲まれる部分の面積を引いたものになります。
とおくと、
，
より、
はx軸と
で交わります。
......[答]
例3． 楕円：
が囲む部分の面積を求める。
より、
から下側の部分を著す式：
を引いて、
からaまで積分すれば求められます。
より、原点を中心とする半径aの円。
，即ち、
に等しく(置換積分(その2)を参照)、
......[答]
例4． 媒介変数表示、
，
(
)により与えられる曲線の囲む面積を求める。
まで行き0に戻ります。グラフは右図のようになります(正確には、微分して増減を調べること。
のとき、
，
，
のとき、
，
，
のとき、
，
)。
の範囲で積分したもの(
の部分の面積)の2倍です。つまり、
より、
，y：
のとき、θ：
とおくと、
，θ：
のとき、t：
......[答]
例5． 曲線：
(
，
)，x軸，直線
，直線
で囲まれる部分の面積を求める。
のとき、
より、
のとき、
より、
をyで微分すると、
において、
(逆関数の微分法を参照)
のとき、
は、
において単調増加であり、求める面積Sは、yをxで、
の範囲で積分したものになります。
について、yをxで表すことができないのです。これでは、積分が計算できません。
，
，
を4頂点とする長方形から、原点O，
，
，
を4頂点とする長方形を取り除き、さらに、曲線：
とy軸，直線
，直線
で囲まれる図形A (右図において橙色で塗られた部分)を取り除いたものになります。
は、
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