内積　　　　関連問題
(1) 右図のように、2つのベクトル，のなす角がθ のとき、をと書いて内積と言う。
　即ち、
(2) ，のとき、　(ベクトルの成分表示を参照)
(3) のとき、でとなり、
　，であって、のとき、
(4) ，が同一方向を向いていて、，のなす角が0のときより、
　，が正反対の方向を向いていて、，のなす角がのときより、
　特に、
(1) 2つのベクトルのなす角θ は、通常は、となるようにとります。またはのときは、なす角を測ることができませんが、とします。
(4)で、を、と書かないようにしてください。ベクトルには内積の他に、「外積」と呼ばれる積があって、内積としての2乗なのか、外積としての2乗なのかを区別することができません。内積としての2乗は、面倒でも、と書くようにしましょう。

(2)の証明　右上図で、点A，点B，，，として、，，，とします。
余弦定理より、　･･･①

，，
これらを①に代入すると、

左辺を展開して整理すると

が得られます。
またはのときは、またはであって、いずれにしても、です。
よって、(2)が成立します。
，であって、またはのときは、，つまり、とおくことができて、，となります。
のとき、，(1)によると、

よって、(2)が成立します。
のとき、，(1)によると、
よって、(2)が成立します。
(証明終)

例1．，のとき、とのなす角θ ()を求める。
[解答]　


より、
∴
∴ ......[答]

例2．，，のとき、を求める。
[解答]　　･･･①
　･･･②
　･･･③
②－①より、
∴ 　･･･④
①×9－③より、
∴
④に代入して、
∴ ，
①より、
∴

∴ ......[答]

[　広告用スペース　]　　　　　

　　　数学基礎事項TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
　[　広告用スペース　]　　
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2023
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。