不定積分　　　　関連問題
微分可能な関数があって、となるとき、つまり、の導関数がとなるとき、をの原始関数と言う。
このとき、と書くことにする。記号はインテグラル(integral)と読む。
の原始関数は一つに定まらない。がの原始関数であるなら、Cを定数として、もの原始関数である。
なぜなら、，つまり、の導関数もとなるからである。
その意味で、をの原始関数のうちの一つだとして、と書き、Cを積分定数と言い、をの不定積分と言う。
から不定積分を求めることを、を積分すると言う。
から導関数を求めることを微分すると言うが、これの逆演算、から原始関数 (C：積分定数)を求めることを積分すると言うので、微分と積分は逆の関係にある。
注1．正確には、aを定数、xを変数として、を不定積分と言います。大学入試の範囲では気にする必要はありません。原始関数が存在しないのに不定積分が存在する例が知られていますが、大学入試の範囲では、原始関数と不定積分は同じ意味だと考えて大丈夫です。
注2．不定積分の結果には必ず、積分定数Cをつけてください。つけなければ不十分解になります。
注3．のは、との積だと考えてください(詳しくは、区分求積法を参照)。

積分は微分の逆演算と言えるので、微分の公式から積分の公式を作ることができます。
cを実数の定数だとして、
∴

∴ (C：積分定数)

∴ (C：積分定数)

∴ (C：積分定数)
一般に、nを0以上の整数だとして、
∴
(C：積分定数)


また、，，a，bを定数だとして、
よって、 (C：積分定数)

従って、不定積分の計算を以下のようにして行うことができます。
例1．a，b，cを定数だとして、 (d：積分定数)
ちなみに、です。

注．一般に、a，b，c，dを定数として、は成り立ちません。この場合には、次のように展開してから積分することになります。
(C：積分定数)

例2．を通過する曲線：のにおける接線の傾きがのとき、関数を求める。
[解答]　与えられた条件より、

　 (C：積分定数)
はを通過するので、
∴
∴
∴ ......[答]

　　　数学基礎事項TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元