恒等式    関連問題

という等式は、のときに限って成り立つ式です。特定のxの値についてだけ成り立つ式を方程式と言います。
それに対して、という等式は、
xにいかなる実数を代入しても成り立ちます。このような等式を恒等式と言います。
もちろん、恒等式によっては、式として意味を持たない
xの値(分母を0にするx,根号内を負にするxなど)を除いて考えるものがあります。
(方程式・不等式を参照)

1xについての恒等式
[
証明] だとすると、となり、等式:を満たすxの値がただ1つに確定してしまいます。これでは、が恒等式にならないので、です。このとき、
逆に、のとき、任意の実数
xについて、です。 (証明終)

2xについての恒等式
[
証明] だとします。 ・・・@ が、任意の実数xについて成立するから、異なる3個の値、xに代入したときに@が成立します。これは、2次方程式@の相異なる解の数が高々2個であるという事実に反します。よって、
このとき、
1.により、,よって、
逆に、のときに、

2.の証明を次のように行うこともできます。「任意の......」という表現があるときに、ある特定の値について成り立つとして、簡単な場合から条件を導き出すという技巧は、受験技巧として、超難問を攻略するときにしばしば使われる重要技巧です。
[2.の証明]  ・・・@ が任意の実数xに関して成り立つのだから、においても成り立つ。
@において、とすると、
・・・A
@において、とすると、
・・・B
@において、とすると、
・・・C
BをAに代入すると、
・・・D
B,DをCに代入すると、

Dより、
よって、
これだけでは、証明になっていません。なぜなら、
xの特別な値、についてしか調べていないからです。としていくと成り立たないかも知れません。
上でやってきたことは、
xについて恒等式 ,つまり、が、xについて恒等式必要条件であることを示したに過ぎないのです。
従って、
が、xについて恒等式十分条件であることも示さないと、xについて恒等式 ” (矢印記号が、'から'に変わっていることに注意)を示したことにならないのです。
であれば、であったとしても、@が成り立つことを示すために、以下の
1行を証明につけておく必要があります。
であれば、
xについて恒等式。 (証明終)

以上の証明で、なぜ、にしたのか?という疑問を持つ人もいるかも知れません。別に、でなければならないということはありません。であっても構いません。ですが、わざわざ、のとき、などとやると、人生をムダに過ごすことになります(たまには時間つぶしで回り道も気晴らしにいいかも知れませんが、入試会場では不可です)。つまり、にしているのは、連立方程式を素早く解くためです。

3xについての恒等式 かつ かつ
[
証明]  xについての恒等式
xについての恒等式
 (2.より)
かつ かつ  (証明終)

4xについて恒等式となるようにxの値を定めよ。
[解答] 右辺を通分して分母を揃えた上で、分子が上記の恒等式の条件を満たすようにします。

 
 
 
これが
xについて恒等式となるために、分子を比較して、
・・・@, ・・・A, ・・・B
B−@より、
・・・C
A−Cより、

Aより、
@より、
......[]


(1)
が、任意の実数xyについて成立する
(2)
が任意の実数xについて成立する
 ⇔

(3)
が、任意の実数xyについて成立する
(4)
が、任意の実数θについて成立する ⇔ 

[証明](1) と仮定すると、となりy1つの値に対してxの値が1つに確定してしまいます。
これでは、任意の実数
xyについてが成立するという条件に反します。

y0以外の値も取り得るので、,よって、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数
xyについて、が成立します。 (証明終)

(2)
と仮定すると、 ・・・@ が任意の実数xについて成立するから、相異なる個の実数について@が成立します。これは、n次方程式@の相異なる解が高々n個であるという事実に反します。

以下、同様にして、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数
xについて、が成立します。 (証明終)

(3)
xについて整理すると、
この等式が任意の実数
xについて成立するから、
こでが任意の実数
yについて成立するから、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数
xyについて、が成立します。 (証明終)

(4)
αは、を満たす角。
であるいろいろな値をとるので、 ∴

逆に、のとき、 (証明終)


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