として、媒介変数表示：，で表される曲線をハイポサイクロイドと言う。

に負の数を入れたものに相当する。

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として、半径の円に内接したまま、半径

の円が滑ることなく回転していくときに、の周上の動点

が描く曲線がハイポサイクロイドです。
円の中心が原点

で、円の中心が最初に右図の点

で円に接しており、の周上の動点

にあるとします。
がと内接しながら回転し、の中心

が右図のように、となるような位置まで来たとします。このときに、

()

は、右図のように、となる位置まで来ます。
このとき、とがつねに接するように動くので、弧と弧の長さは等しくなります。
，より、
∴

がの内側を

が、のときに、がの倍

()

になります。よって、

∴

，　･･･�@
さて、右図において、の中心

だけ回った位置にあるので、

動点

は、�@より、半径の円の周上を右図で

から角だけ回った位置にあるので、

∴

座標について、
，
という媒介変数表示が得られます。

のときは、，より、

軸のの部分です。

のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。


とも書けるので、これは、

です。
のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。
上記のハイポサイクロイドの

を求めてみます。
上に示すように、ハイポサイクロイドはへこんだ針金が円周の内側にへばりつくような形をしています。

　
　　　
　
動点

がの周上に来るのは、
とおくと、

を整数として、，つまり、のとき。
従って、針金１本分に相当する

の範囲は、であって、本の同じ針金ができます。
，

　
　　
　
　

()

求める曲線の長さは、

　　

　
　

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