一橋大数学'11年前期[5]

AB2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。
1回目はAが投げる。
123の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
45の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。
(1) n回目にAがサイコロを投げる確率を求めよ。
(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。
(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。

解答 頻出タイプの確率連立漸化式の融合問題です。

(1) 1回目にAがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
n回目にBがサイコロを投げる確率をとします。
1回目にBがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
回目に
Aがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Aがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Bがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・@
回目にBがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Bがサイコロを投げて(確率)123の目が出た(確率)か、Aがサイコロを投げて(確率)45の目が出た(確率)ときです。よって、
 ・・・A
@+Aより、
よって、数列は、初項:,公比:
等比数列
 ・・・B
@−Aより、
よって、数列は、初項:,公比:の等比数列。
 ・・・C
(B+C)÷2より、
......[]

(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つのは、n回目にAがサイコロを投げて(確率)6の目が出た(確率)場合です。
......[]

(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率は、
......[]


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