一橋大数学'11年前期[5]

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AとBの2人が、1個のさいころを次の手順により投げ合う。

1回目はAが投げる。
1，2，3の目が出たら、次の回には同じ人が投げる。
4，5の目が出たら、次の回には別の人が投げる。
6の目が出たら、投げた人を勝ちとしてそれ以降は投げない。

(1) n回目にAがサイコロを投げる確率を求めよ。

(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。

(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率を求めよ。

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解答　頻出タイプの確率・連立漸化式の融合問題です。

(1) 1回目にAがサイコロを投げる確率は、題意より、です。

n回目にBがサイコロを投げる確率をとします。
1回目にBがサイコロを投げる確率は、題意より、です。
回目にAがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Aがサイコロを投げて(確率)、1，2，3の目が出た(確率)か、Bがサイコロを投げて(確率)、4，5の目が出た(確率)ときです。よって、

　･･･�@

回目にBがサイコロを投げる(確率)のは、n回目に、Bがサイコロを投げて(確率)，1，2，3の目が出た(確率)か、Aがサイコロを投げて(確率)、4，5の目が出た(確率)ときです。よって、

　･･･�A

�@＋�Aより、
よって、数列は、初項：，公比：の等比数列。
∴ 　･･･�B
�@−�Aより、
よって、数列は、初項：，公比：の等比数列。
∴ 　･･･�C
(�B＋�C)÷2より、

......[答]

(2) ちょうどn回目のサイコロ投げでAが勝つのは、n回目にAがサイコロを投げて(確率)、6の目が出た(確率)場合です。

∴ ......[答]

(3) n回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率は、

......[答]

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