一橋大数学'11年前期[4]

abcを正の定数とする。空間内に3ABCがある。
(1) ABを底辺とするとき、△ABCの高さをabcで表せ。
(2) ABC,△OAB,△OBC,△OCAの面積をそれぞれSとする。ただし、Oは原点である。このとき、不等式
が成り立つことを示せ。
(3) (2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ。

解答 (2)(3)は、コーシー・シュワルツの不等式: (不等式の証明を参照)を利用します。

(1)
 (内積を参照)
 (三角形の面積を参照)

よって、辺ABを底辺とするときの△ABCの高さhは、
......[]

(2) OABの面積は、,△OBCの面積は、,△OCAの面積は、
というベクトルを考えると、です。また、というベクトルを考えると、
がなす角をθ として、コーシー・シュワルツの不等式:より、

(3) (2)の不等式において、等号が成立するのは、,つまり、 // のときです。
このとき、 // より、,即ち(2)の不等式において等号が成り立つための条件は、 ......[]


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