一橋大数学'11年前期[3]

xy平面上に放物線C2APがある。線分APCは、Aとは異なる点Qを共有している。
(1) 定数pの存在する範囲を求めよ。
(2) を、Cと線分AQで囲まれた領域とし、を、C,線分QP,およびy軸とで囲まれた領域とする。の面積の和が最小となるpの値を求めよ。

解答 数学Uの微積分の基本問題ですが、やや計算が面倒です。

(1) 線分AP (直線の方程式を参照)
放物線Cの方程式と連立して、


線分APCが共有点をもつとすると、線分APの存在範囲の中でもつはずです。線分APCQ以外の共有点をもつために、以外の解について、
......[]

(2) の面積は、
 (定積分と面積定積分の公式を参照)
の面積は、







として、
として、
より、増減表は
(3次関数の増減を参照)
p1

2

0



増減表より、の面積の和が最小となるpは、 ......[]


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