一橋大数学'11年前期[1]

(1) 自然数xyは、および
をみたす。xyの組をすべて求めよ。
(2) 自然数xyzは、および
をみたす。xyzの組をすべて求めよ。

解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺にをかけてみても難しいものがあります。そこで、xyが大きくなると、が小さくなり、1に近くなり、が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。

(1) 与式両辺にをかけて、

 ・・・@
このまま、とするとうまく行かないので、左辺でをくくり出せるように@に2をかけておきます。


と、15の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、
よって、
......[]

(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、です。与式より、
両辺にをかけます。



と、40の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、で不適です。
これで、という解が
1組得られました。
とすると、 ・・・A
よって、
これより、
Aを満たせないので、の場合には題意を満たすの組はありません。
以上より、
......[]


   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元