一橋大数学'10年前期[3]

原点をOとするxyz空間内で、x軸上の点Axy平面上の点Bz軸上の点Cを、次をみたすように定める。
ただし、Ax座標,By座標,Cz座標はいずれも正であるとする。さらに、△ABC内の点のうち、Oからの距離が最小の点をHとする。また、とおく。
(1) 線分OHの長さをtの式で表せ。
(2) Hz座標をtの式で表せ。

解答 凝らずに、三角比と直角三角形の相似を考えれば平凡に解決します。

(1) (三角比を参照)より、

AB
の中点をMとすると、三角形OABは二等辺三角形で、OMABは垂直です。
三平方の定理より、
三角形CABは二等辺三角形で、HCM上の点です。直角三角形OCMと直角三角形HOMの相似により、
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(2) HからOCに垂線OKを下ろします。直角三角形OCMと直角三角形HKOの相似により、
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