一橋大数学
'10
年前期
[3]
原点を
O
とする
xyz
空間内で、
x
軸上の点
A
，
xy
平面上の点
B
，
z
軸上の点
C
を、次をみたすように定める。
，
，
ただし、
A
の
x
座標，
B
の
y
座標，
C
の
z
座標はいずれも正であるとする。さらに、△
ABC
内の点のうち、
O
からの距離が最小の点を
H
とする。また、
とおく。
(1)
線分
OH
の長さを
t
の式で表せ。
(2) H
の
z
座標を
t
の式で表せ。
解答
凝らずに、三角比と直角三角形の相似を考えれば平凡に解決します。
(1)
と
(
三角比
を参照
)
より、
∴
AB
の中点を
M
とすると、三角形
OAB
は二等辺三角形で、
OM
と
AB
は垂直です。
三平方の定理より、
三角形
CAB
は二等辺三角形で、
H
は
CM
上の点です。直角三角形
OCM
と直角三角形
HOM
の相似により、
∴
......[
答
]
(2) H
から
OC
に垂線
OK
を下ろします。直角三角形
OCM
と直角三角形
HKO
の相似により、
∴
......[
答
]
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，
，
，，
とおく。
......[答]
......[答]
と
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