一橋大数学'10年前期[2]

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aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A，点Bで接している。

(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。

(2) 直線ABの方程式がであるとき、a，mの値を求めよ。

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解答　数学�Uの微分の計算問題です。

(1)

とおきます。

　(微分を参照)

傾きmの接線をもつとき、

　･･･�@

この方程式の2解をα，β として、解と係数の関係より、

，　･･･�A

点A，点Bの座標は、，，線分ABの中点Cは、
�Aを用いて、

より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。
追記．より、曲線は変曲点をもちます。3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。

(2) 直線ABと曲線は、3点A，B，Cで交わります。

直線AB：
と連立すると、

　･･･�B

直線AB上の点Cが上の点なので、�Bはという解をもちます。よって、

より、aは実数なので、 ......[答]
このとき、�Bは、

()は、線分ABの中点Cの座標なので、A，Bのx座標はです。方程式�@の2解はであって、�Aより、

......[答]

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