一橋大数学'10年前期[2]

aを実数とする。傾きがmである2つの直線が、曲線とそれぞれ点A,点Bで接している。
(1) 線分ABの中点をCとすると、Cは曲線上にあることを示せ。
(2) 直線ABの方程式がであるとき、amの値を求めよ。

解答 数学Uの微分の計算問題です。

(1)
とおきます。
 (微分を参照)
傾きm接線をもつとき、

 ・・・@
この方程式の2解をαβ として、解と係数の関係より、
 ・・・A
A,点Bの座標は、,線分ABの中点Cは、
Aを用いて、




より、線分ABの中点Cは、曲線上の点です。
追記.より、曲線は変曲点をもちます。
3次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、傾きの等しい接線が引ける異なる2点の中点は変曲点になります。

(2) 直線ABと曲線は、3ABCで交わります。
直線AB
と連立すると、
 ・・・B
直線AB上の点C上の点なので、Bはという解をもちます。よって、
より、aは実数なので、 ......[]
このとき、Bは、

()は、線分ABの中点Cの座標なので、ABx座標はです。方程式@の2解はであって、Aより、
......[]


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