一橋大数学'09年前期[3]

pqを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

解答 決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1][3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。

放物線:

 ・・・@
は、頂点がにある放物線です(2次関数を参照)
とおくと、
 ・・・A
@と円
 (円の方程式を参照)
が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・B
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
の判別式: ・・・C
 ・・・D
です(右図参照)
注.円の存在範囲を考慮しないと、となるような
yの実数解もあり得てしまいます。
Cより、

 ・・・E
Dより、Bを用いて、
 ・・・F
また、@と円

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・G
 ・・・H
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件は、
の判別式: ・・・I
 ・・・J
です(右図参照)。Iより、
 ・・・K
Jより、Gを用いて、
 ・・・L
@がの両方と共有点をもつ条件は、EかつFかつKかつLですが、@の頂点の存在範囲はAを用いて、
Eは、

Fは、

Kは、

Lは、

以上より、@の頂点の存在範囲は、上記でとして、
かつ かつ かつ
であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
なお、境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
交わります。



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