一橋大数学'09年前期[3]

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p，qを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

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解答　決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1]と[3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。

放物線：

　･･･�@

は、頂点がにある放物線です(2次関数を参照)。

，

とおくと、

，　･･･�A

�@と円：

　(円の方程式を参照)

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、

整理して、

　･･･�B

この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、

の判別式：　･･･�C
　･･･�D

です(右図参照)。
注．円の存在範囲を考慮しないと、となるようなyの実数解もあり得てしまいます。
�Cより、

　･･･�E

�Dより、�Bを用いて、

∴ 　･･･�F
また、�@と円：

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、

整理して、

　･･･�G

　･･･�H

この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件は、

の判別式：　･･･�I
　･･･�J

です(右図参照)。�Iより、

　･･･�K

�Jより、�Gを用いて、

　･･･�L

�@が，の両方と共有点をもつ条件は、�Eかつ�Fかつ�Kかつ�Lですが、�@の頂点の存在範囲は�Aを用いて、
�Eは、
∴
�Fは、
∴
�Kは、
∴
�Lは、
∴
以上より、�@の頂点の存在範囲は、上記で，として、

かつ かつ かつ

であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)。
なお、境界線とは、 (複号同順)において、
境界線とは、 (複号同順)において、
境界線とは、 (複号同順)において、
交わります。

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