一橋大数学'09年前期[2]

(1) 任意の角θ に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxu平面上に図示し、その面積を求めよ。
(2) 任意の角αβ に対して、が成立するような点の全体からなる領域をxy平面上に図示し、その面積を求めよ。

解答 他サイトの解答を見ると、(1)ではの最大値が以下で最小値が以上であればよい、(2)ではの最大値が1以下で最小値が以上であればよい、と、単純に書かれています。言われてみれば確かにそうなのですが、点の存在領域を問題にしているので、どうしてもxyの方に目が向いてしまいがちで、試験会場でそう発想すること自体が難しいだろうと思います。
かつて出題された
'97年後期[5]などの難問でもそうなのですが、パラメータaを含むxyの式があって、の存在領域を求めよ、とか、曲線の通過領域を求めよ言われたら、xyではなく、パラメータaの方に着目する、ということを覚えておいてください。
本問では、
(1)ではθ に、(2)では、の方に着目します。

(1)  ・・・@
のとき、@は任意の角θ に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、
 (三角関数の合成を参照)
ただし、δ は、をみたす角。
θ が任意の角であるとき、
よって、任意の角θ に対して@が成立するためには、
 ・・・A
かつ
 ・・・B
であることが必要十分です。
Aより、 ・・・C
Bより、
 ・・・D
C,Dの境界線、は、連立すると、
より
となるので、交点
PQをもちます。
は、C,Dをみたします。
よって、求める領域は、CかつDで、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
なので、領域の面積は、半径
2の円の面積のから、頂角をはさむ2辺の長さが2の二等辺三角形の面積を引いて、直線と放物線とで囲まれる部分の面積を加えたものになります。
 (定積分と面積を参照)
 (定積分の公式を参照)

......[
]

(2)  ・・・E
のとき、Eは任意の角αβ に対して成立するので、は求める領域内の点です。
ではないとき、とおくと、αβ が任意の角であれば、
 ・・・F
Fをみたすようにabを動かすとき、は右図の正方形の水色着色部分(境界線を含む)にあります。
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の負側を通過する直線です(ならb軸の負側、ならb軸の正側を通過します)
は、のときにみたされるので、ab平面で直線から原点側の領域を表します。
直線は、
a切片 ()b切片a軸の正側を通過する直線です(ならb軸の正側、ならb軸の負側を通過します)
従って、Fをみたす任意の
abがEをみたすためには、右図の正方形の頂点、
においてEがみたされることが必要十分です。よって、



即ち、

ここで、であればはみたされ、であればはみたされるので、
 ・・・G
であれば十分です。Gの境界線は、で交わります。
はEをみたします。
よって、求める領域はGで、図示すると右図黄緑色着色部分
(境界線を含む)
領域の面積は、
x軸と放物線で囲まれる部分の面積の2倍で、
......[]


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