一橋大数学'07年前期[5]

1が書かれたカードが1枚、2が書かれたカードが1枚、・・・、nが書かれたカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。この組から1枚を抜き出し元にもどす操作を3回行う。抜き出したカードに書かれた数をabcとするとき、得点Xを次の規則(i)(ii)に従って定める。
(i) abcがすべて異なるとき、Xabcのうちの最大でも最小でもない値とする。
(ii) abcのうちに重複しているものがあるとき、Xはその重複した値とする。
をみたす
kに対して、となる確率をとする。
(1) nkで表せ。
(2) が最大となるknで表せ。

解答 難しくはないのでケアレスに充分に注意したい問題です。試験会場で時間的な余裕があれば、くらいで、のときの確率を確認しておきたいところです。

(1) となるのは、
3回のうちのどの回かにkを引き(確率)
(i) 残る2回のどちらもkを引く(確率)
あるいは、
(ii) 残る2回のどちらか1回でkを引き(確率)、他の1回ではk以外のどれかのカードを引く(確率)
あるいは、
(iii) 残る2回のどちらか1回でkよりも小さいカードを引き(確率)、他の1回ではkよりも大きなカードを引く(確率)
場合です。
(ii)では、3回のうちどの回にk以外のカードを引くかが3通りあり、(iii)では、kよりも小さいカードと、kと、kよりも大きいカードをそれぞれ3回のうちどの回に引くかが通りあります。
よって、求める確率は、

......[]

(2) (1)の結果を平方完成すると、

2次関数の最大最小の形になりますが、kは整数値しかとらないので注意が必要です。
が整数、つまり、nが奇数のときには、のときに最大です。
が整数にならないとき、つまり、nが偶数のときには、に近い整数は、になるので、とを比較することになります。
より、
よって、のときに最大です。
を最大とするkは、 ......[]


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