一橋大数学'07年前期[3]

放物線 ()Cとする。C上に異なる2PQをとり、そのx座標をそれぞれpq ()とする。
(1) 線分OQCで囲まれた部分の面積が、△OPQの面積の倍であるとき、pqの関係を求めよ。ただし、Oは原点を表す。
(2) Qを固定してPを動かす。△OPQの面積が最大となるときのpqで表せ。また、そのときの△OPQの面積と、線分OQCで囲まれた部分の面積との比を求めよ。

解答 定積分の公式が使える問題です(‘05年前期[4]でも出題されています)。もっとも、この問題では、
としても労力はほとんど変わらない、というか、公式を使ってaをかけるのを忘れるくらいなら素直に計算した方が良いくらいですが。

(1) 放物線C ・・・@
C上の点PQの座標は、です。
OPQの面積は、
 (三角形の面積の公式を参照)
直線OQは、傾きで原点を通る直線なので、
 ・・・A
@,Aは、原点Oと点Qで交わり、において、Aが@の上に来るので、線分OQCで囲まれた部分の面積は、
 (定積分の公式を参照)
より、
で割って整理すると、
または ......[]

(2)
これは、 ......[] のときに最大で、
そのとき、
34 ......[]

追記.公式:が鮮やかに使える問題を紹介しておきます。
東京海洋大
'07[4]
(1) 座標平面上の2つの放物線の共有点すべて通る円の方程式を求めよ。
(2) 連立不等式の表す領域の面積を求めよ。

解答 2曲線が共有点Pをもつとすると、Pは、両曲線上の点なので、です。
ABを定数として、
として得られる曲線について、
となるので、Pは曲線上の点です。 ・・・()

(1) ABを定数として、
 ・・・@
という曲線は、()より、2放物線の共有点をすべて通ります。@を整理すると、
となりますが、これが円を表すために、が必要です。このとき、
@が何らかの曲線を表すためには,よってAで割ると、
......[]

(2) 面積を求める領域は、右図で赤線に囲まれた部分になります。
 ・・・A
 ・・・B
として、A,Bを連立すると、という解があることはすぐにわかります。A,Bの交点は4個ありますが、1つは原点Oです。他の交点を右図のように、PQRとし、それぞれのx座標をpqrとします。
放物線Aの軸より右の部分と放物線Bの軸より下の部分の交点が
P
放物線Aの軸より右の部分と放物線Bの軸より上の部分の交点が
Q
放物線Aの軸より左の部分と放物線Bの軸より上の部分の交点が
R
放物線Aの軸より左の部分と放物線Bの軸より下の部分の交点が
Oです。
Aの
xyを逆にするとB式になるので、AとBは、直線に関して対称です。
よって、求める面積
S,つまり右図で赤線に囲まれた部分の面積は、
線分OQと放物線Bの弧OPと放物線Aの弧PQで囲まれた部分の面積2倍したもの
になります。
は、線分
OQと放物線Aの弧OQで囲まれる部分(右図クリーム色部分)の面積から、放物線Bの弧OPと放物線Aの弧OPで囲まれる部分の面積を引いたものです。
は、線分
OPと放物線Aの弧OPで囲まれる部分(右図青線が囲む部分)の面積から、線分OPと放物線Bの弧OPで囲まれる部分(右図黄緑色部分)の面積を引いたものです。
AとBが直線に関して対称なことから、は、線分
ORと放物線Aの弧ORで囲まれる部分の面積に等しくなります。
A:の係数は
1なので、定積分の公式を用いると、
の領域は、にあり、
の領域は、にあり、
の領域は、にあり、
よって、


 ・・・C
A+Bより、
または
のとき、Aより、
または
よって、です。
のとき、Aより、
この2解がprですが、2次方程式の解と係数の関係より、
Cより、
......[]

なお、早大教育'93年にも、同様の出題があります。

xy平面において、領域AAによって定める。領域Aを直線に関して対称に移した領域をBとするとき、領域の面積を求めよ。


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