一橋大数学'07年前期[1]

mを整数とし、とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式を解け。

解答 
(1) とおくと、

 (共役複素数を参照)
よって、の解です。
2解とする2次方程式を求めます。2乗すると、

これが、z2解とする2次方程式です。
で割ると割り切れるはずですが、商は,余りについて、
 (因数定理を参照)
よって、
 ・・・@
 ・・・A
Aより、60の約数(整数を参照)で、より

これを満たす整数aであって、 (偶数です)60の約数となるものを探します。
のとき、60の約数で、Aより
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、Aより
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、Aより

@より、 ・・・C
のとき、60の約数で、Aより
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、Aより

@より、 ・・・D
のとき、60の約数で、Aより
となり不適。
のとき、60の約数で、Aより
となり不適。
のとき、60の約数で、Aより
となり不適。
・これ以外に60の約数となる場合はありません。
C,Dより、
......[]

(2) のとき、Cより、,方程式は、
......[]
のとき、Dより、,方程式は、
......[]

[別解] 3次方程式の解と係数の関係を利用することもできます。
以外の解を
cとして、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・E
 ・・・F
 ・・・G
Eより、
F,Gに代入して、


となり、@,Aが出てきます。
以降は、上記と同じようにすればよいのですが、
(2)では、方程式を解かなくても、からすぐに3つめの解が得られます。


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