一橋大数学'06年前期[4]

abを正の定数とする。関数のグラフと、点を通る直線はちょうど2PQを共有している。ただし、Px座標は負、Qx座標は正である。
(1) 直線PQの方程式をabで表せ。
(2) PおよびQの座標をabで表せ。
(3) となるbが存在するようなaの値の範囲を求めよ。ただし、Oは原点である。

解答 (3)は、「となるbが存在するような」という親切な問題文なのですぐに解答方針が立ちますが、もし、「となるPQが存在するような」というような問題文だとしたら手こずるかも知れません。

3次関数のグラフと直線がちょうど2点を共有している、ということは、3次関数と直線の方程式を連立してできる3次方程式の3個の解のうち2個は重解だということです。共有点のどちらかは接点で他方は交点です。

(1)  ・・・@
微分すると、
3次関数のグラフと直線との接点のx座標をt とします。直線の方程式は、
 (接線を参照)
整理して、
 ・・・A
を通るので、

は、判別式:で実数解を持たず、実数解は、
のみです。これが、3次関数のグラフと直線との接点のx座標を与えます。Aでとして、直線PQの方程式は、
......[] ・・・B

(2) @とBを連立すると、
整理して、
 ・・・C
この3次方程式はを重解にもつことがわかっているので因数分解してすぐに解くことができますが、一般的には、3次方程式の解と係数の関係を使うのが便利です。
もう
1つの解をsとおくと、解と係数の関係より、
 (Cのの係数は0です)

で、Px座標は負、Qx座標は正なので、Px座標はQx座標はということになります。Pが接点でQは交点です。
@より、のとき、
のとき、
PQ ......[]

(3) 直線OPの傾きは、
直線OQの傾きは、
のときには、直線
OPと直線OQの傾きの積は (2直線の平行と垂直を参照)になり、

これをに関する2次方程式とみてとおきとすると、この2次方程式は、より、の範囲に少なくとも1つの実数解を持ちます。
このためには、なので、が実数解をもち
(判別式≧0)の軸の位置となることが必要十分です(2次方程式の一般論を参照)
かつ
......[]


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