一橋大数学'06年前期[3]

大きさがそれぞれ531の平面上のベクトルに対して、とおく。
(1) を動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。
(2) を固定し、をみたすようにを動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。

解答 座標系を設定したり、各ベクトル間の角の関数を考えたりすると泥沼にハマり込むことになります。さっさと正攻法を見限って、いかに簡便に考えることができるか、と頭を切り換えるところがポイントでしょう。

(1) のなす角をαのなす角をβのなす角をγとすると、
 (内積を参照)
より、
ですが、なので、
 ・・・@
となります。この不等式の右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、で、3個のベクトルが同じ向きを向いているときです。
よって、の最大値は、となるとき、となります。
@の左側の不等号の等号が成立するのは、のときですが、こうなる可能性があるかを調べてみます。
まず、について、
なので、
つまり、 ・・・A
なので、,つまり、ということはあり得ません。従って、@の左側の不等号が成立することはありません。ですが、についてAが得られたので、これを使ってを考えてみます。のなす角を
θ として、

 (ここで、です)
を固定して、2次関数とみると、より、のときに最小値をとります。のとき、
不等号の等号は、のときに成立しますが、がちょうど逆向きになるときに、となります。
は、Aにおいて左側の不等号の等号が成立するときに起こりますが、このとき、はちょうど逆向きで、となっています。さらに、がちょうど逆向きで、
(に注意),つまり、のとき、は最小値1をとり、は最小値1をとります。
最大値:
9,最小値:1 ......[]

(2)

 ・・・B
(1)ではを考えて最小値を求めることができたので、ここでは、が出てくるようにして考えることにします。




なので、

つまり、 ・・・C
Cの右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が同じ向きで、となるときに成立します。
このとき、Bより、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最大値はです。
Cの左側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が逆向きになり、となるときに成立します。
このとき、Bより、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最小値はです。
最大値:,最小値:
......[]


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