一橋大数学'06年前期[2]

座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCx軸と平行である。また、頂点Ay軸上にあってy座標は正であり、頂点Cx座標は正である。直線に関して3ABCと対称な点を、それぞれとする。
(1) の座標を求めよ。
(2) ABCと△が重なる部分の面積を求めよ。

解答 (2)では、△ABCと△が重なる部分は、△ABCから3つの三角形を取り除いた部分で、この3つの三角形が合同であることは図を描けば正三角形の対称性より明らかですが、ここでは、一応確かめておくことにします。

(1) BCの中点をMとすると、より、BCx座標は1です。
であり、原点Oは、AM21に内分する点なので、
従って、
Ay座標はBCMy座標はです。
Cの座標はとなり、に関してCと対称な点の座標はCx座標とy座標を入れ替えて、 ......[]

(2) 求める面積は、右図の黄色着色部分の面積で、正三角形ABCの面積から3つの水色着色部分の三角形の面積を引いたものになります。
ABの交点をHFBCの交点をIDCAの交点をJEとします。
直線
ABは、2を通るので、
 ・・・@ (直線の方程式を参照)
直線は、2を通るので、
 ・・・A
@とAを連立して、


@に代入すると、
よって、Hです。


また、Ix座標はx座標と同じで、
従って、
直線
ABと直線とは、傾きの積が、となるので、直交しています(2直線の平行・垂直を参照)。よって、
BCx軸に平行でy軸に平行なことから
さらに、

ABCと△に関して対称なことから、
AEH
CDJ
BFI

以上より、
AEH BFI CDJ

BFIの面積は、
正三角形ABCの面積は、
求める面積は、
......[]


   数学基礎事項TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元