一橋大学2006年前期数学入試問題

一橋大学2006年前期数学入試問題
[1]　次の条件(a)，(b)をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp、その他の2辺の長さをq，rとする。

(a) p，q，rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。

(b)

(1) q，rのどちらかは偶数であることを示せ。

(2) p，q，rの組をすべて求めよ。

[2]　座標平面上に1辺の長さが2の正三角形ABCがある。ただし、△ABCの重心は原点の位置にあり、辺BCはx軸と平行である。また、頂点Aはy軸上にあってy座標は正であり、頂点Cのx座標は正である。直線

に関して3点A，B，Cと対称な点を、それぞれ

，

とする。

(1)

の座標を求めよ。

(2) △ABCと△

が重なる部分の面積を求めよ。

[3]　大きさがそれぞれ5，3，1の平面上のベクトル

，

に対して、

とおく。

(1)

，

を動かすとき、

の最大値と最小値を求めよ。

(2)

を固定し、

をみたすように

，

を動かすとき、

の最大値と最小値を求めよ。

[4]　a，bを正の定数とする。関数

のグラフと、点

を通る直線はちょうど2点P，Qを共有している。ただし、Pのx座標は負、Qのx座標は正である。

(1) 直線PQの方程式をaとbで表せ。

(2) PおよびQの座標をaとbで表せ。

(3)

となるbが存在するようなaの値の範囲を求めよ。ただし、Oは原点である。

[5]　１，2，3，4が1つずつ記された4枚のカードがある。これらのカードから1枚を抜き出し元に戻すという試行をn回繰り返す。抜き出したn個の数の和を

とし、積を

とする。
(1)

となる確率をnで表せ。
(2)

が8で割り切れる確率をnで表せ。
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