一橋大数学'05年前期[5]

AB2人があるゲームを繰り返し行う。1回ごとのゲームでABに勝つ確率はpBAに勝つ確率はであるとする。n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になる確率をとする。
(1) pnで表せ。
(2) のとき、を最大にするnを求めよ。

解答 n回目のゲームで「初めて」ABの双方が4勝以上、という問題文の「初めて」という言葉に注意しましょう。

(1) n回目のゲームで初めてABの双方が4勝以上になるのは、回目までのゲームでA3勝しB ()勝していてn回目にAが勝つか、B3勝しA ()勝していてn回目にBが勝つ場合です。
,つまり、の場合、その確率は反復試行の公式より、

の場合は、ABの双方が4勝以上することはあり得ないので、
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(2) として、のとき、
としてみると、

従って、においては、,つまり、です。

のときにはなので、を最大にするnは、
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