一橋大数学'05年前期[2]

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原点を中心とする半径1の円をCとし、，とする。
AとNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、BとNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。

(1) Pの座標をaで表せ。

(2) AQ // PBのとき、となることを示せ。

(3) AQ // PB，のとき、aの値を求めよ。

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解答　図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。

(1) AとNを通る直線は、

　(直線の方程式を参照)

∴ 　･･･�@

C：　･･･�A

�@，�Aを連立して、

整理すると、

直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、として、

�@より、
よって、Pの座標は、 ......[答]

(2) BとNを通る直線は、�@のaをbと入れ替えて、

これと�Aを連立してQの座標を求めると、(1)の答のaをbと入れ替えて、
直線AQの傾きは、　(直線の方程式を参照)
直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)、

　･･･�B

分母を払って整理すると、�Bは、aとbを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、という因数をもちます。これに注意して、

より、で割ると、

整理して、

　･･･�C

∴

(3) 三角形ANBの面積Sを2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、

底辺，高さの三角形と見ると、

∴

　･･･�D

を�Cに代入してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、�Cが対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。

，　･･･�E

これを�Cに代入すると、

∴ ()
�Eを用いて、

∴ ()　･･･�F
�F−�Dより、

......[答]

別解．余弦定理や正弦定理を使うこともできます。
三角形ANBに余弦定理を用いると、

∴
これと�Cとからを求めれば、2次方程式の解と係数の関係を用いてaを求めることができます。
三角形ANBに正弦定理を用いると、より、

(2)の結果を用いると、

これで�Dが得られます。

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