一橋大数学'05年前期[1]

kは整数であり、3次方程式3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。

解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、のグラフを考えていくこともできます。

 ・・・@
@の3解をpqr ()とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・A
 ・・・B
 ・・・C
Aより、
Bに代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、

より、 ・・・D
なので、が出てくるように平方完成し、
4倍すると、
 ・・・E
より、

これをみたすような整数は、4通りしかありません。
また、AやDから考えると、
3解のうち最も小さなpです。
(i) ,つまり、のとき、
Dより、
これを満たす整数
qは、
これは、Eを満たさず不適。
(ii) ,つまり、のとき、
Dより、
これを満たす整数
qは、
どちらもEを満たさず不適。
(iii) ,つまり、のとき、
Dより、
これを満たす整数
qは、
このうちEを満たすのは、
このとき、Aより、
Cより、
(iv) ,つまり、のとき、
Dより、
これを満たす整数
qは、
このうちEを満たすのは、
このとき、Aより、
Cより、
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]

別解 @〜Cのあと、@で、とすると、

となり題意を満たさないので、であり、は@の解にはなりません。
@で、とすると、

なので、

Aより、prは異符号で、であって、
従って、であり、に限られます。

(i) のとき、
のとき、Aより、
のとき、Aより、
(ii) のとき、
なのでAより、
prは、2解で、より不適。
(iii) のとき、
のとき、Aより、
のとき、Aより、

(i)と同じ解の組が出てきます。
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]


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