高次の導関数    関連問題

n3以上の自然数として、の導関数を考えます。

です。この右辺のの導関数を求めると、となりますが、左辺のの導関数は、
yから2回微分されることになるので、もう一つ、プライム記号をつけて、

と表すことにします。さらに、微分して、の導関数は、
yから3回微分されることになるので、プライム記号を3つつけて表し、

となります。を第
1(1)の導関数、を第2(2)の導関数、を第3(3)の導関数と呼びます。
と書くとき、とも書きますが、です。

4次以上になると、プライム記号の数が多くなるので、と書いて第4(4)の導関数ということにします。
n回微分すると、

となります。を第
n(n)の導関数と言います。 ()です。

以下、
mnを自然数として、

 
(底がeの指数関数は何回微分しても指数関数のまま)
 (とします)

などが言えます。

例.
(1)  ()として求められる多項式をエルミート多項式と言います。
,・・・
などとなっています。

(2)  ()として求められる多項式をルジャンドル多項式と言います。
,・・・
などとなっています。

(1)(2)とも物理学で登場する重要な多項式です。


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