種々の関数のグラフ(1)    関連問題

分数関数のグラフを考察します。この項目では、微分の公式関数の増減関数の凹凸を参照してください。
1タイプ:
これくらいなら指示がない限り、グラフを描くのに微分する必要はありません。
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフは
漸近線をもちます。
のとき、となるので、グラフは漸近線をもちます。
のとき、
のとき、
グラフは右図。
2タイプ:
分子を分母で割ります。
 ・・・@

(この形だけでも、のときになので、が漸近線だと見当がつきます)
のとき、となるので、グラフは漸近線をもちます。
のとき、より、グラフは漸近線をもちます。
@を微分して、
 
(商の微分法を参照)
とすると、
のとき、 
(複号同順)
 (の最終の形を微分するのではなく、の形を微分する)
これより、増減表は以下の通り。グラフは右図。
x

1

0×0
×
y×
注.分数が混じっている関数では、分母が0になるところも増減表に記入すること。上記のように、凹凸が変化していたり、グラフが不連続になっていたりします。

3(分母の零点が2)タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフは
漸近線をもちます。
のとき、となるので、グラフは漸近線をもちます。
 
(商の微分法を参照)
 
とすると、
のとき、
(極小値)のとき、 (極大値)

 
 
とおくと、

極大値:,極小値:
よって、とすると、の範囲にただ
1つの解をもちます。キレイな形に解けないので、これをαとします。
増減表は以下のようになります。グラフは右図。

x
α



1
0×0×
0××
y
1××
注.の形が複雑なので、入試会場では、を求めていると時間を無駄に使うことになるので注意してください。問題文で「凹凸を調べよ」とか「変曲点を調べよ」と言っていなければ、を求める必要はありません。

4(分母に零点がない)タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、となるので、グラフは
漸近線をもちます。
 
(商の微分法を参照)
とすると、より、
のとき、より、
 
(複号同順)

 
 
 
とすると、
のとき、のとき、のとき、
増減表は以下のようになります。グラフは右図。

x




1
00
000
y012

5タイプ:
分子を分母で割ります。

のとき、より、グラフは
漸近線をもちます。
のとき、より、グラフは漸近線をもちます。
 
(商の微分法を参照)
 
とすると、
(ここは極値になりません)
のとき、 
(複号同順)

 
 
とすると、
のとき、
増減表は以下のようになります。グラフは右図。

x


0
1

0×0×0
×0×
y×0×


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