大阪大学理系2013年数学入試問題

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[1]　三角関数の極限に関する公式

を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。
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[2]　不等式

の表す領域をxy平面に図示せよ。
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[3]　4個の実数

，，，

がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。
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[4]　xyz空間内の3点O，A，Bを頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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[5]　nを3以上の整数とする。n個の球，，･･････，とn個の空(から)の箱，，･･････，がある。以下のように、，，･･････，の順番に、球を箱に1つずつ入れていく。
まず、球を箱，，･･････，のどれか1つに無作為に入れる。次に、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。
一般に、について、球を、箱が空ならば箱に入れ、箱が空でなければ残りの個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる。

(1) が入る箱はまたはである。これを証明せよ。

(2) がに入る確率を求めよ。

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