阪大理系数学'13年前期[4]

xyz空間内の3OABを頂点とする三角形OABx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする。円すいVy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 問題文を一見してぎょっとしますが、断面を考えていけば素直に解決します。

直円錐をその軸に平行な平面で切ると、切り口に双曲線ができます。
三角形
OABx軸のまわりに1回転させてできる円錐Vを、x軸に平行な平面 ()で切ると、切り口にやはり双曲線ができます。
この双曲線の頂点は、直線
OBと、平面との交点Cになります。
円錐
Vの底円は、点Aを中心とする半径1の円で、この円はx軸と垂直です。
この円の円周と平面との交点は、です。プラスの方を
P,マイナスの方をQとし、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ると、3CPQを通る放物線と線分PQとで囲まれる図形Wy軸のまわりに回転させた図形が切り口にできます。
図形
W内の点でy軸との距離が最小となる点はCで、最大となる点はPQです。
図形
Wy軸のまわりに1回転させると、Dを中心とし、DPを半径とする円からDCを半径とする円を除いた図形Uになります。
この図形
Uが、円錐Vy軸のまわりに1回転させてできる立体を平面で切ったときにできる図形です。

より、図形Uの面積は、
求める体積は、立体がxy平面に関して対称であることを考慮して、
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