阪大理系数学'13年前期[2]

不等式
の表す領域をxy平面に図示せよ。

解答 素直に場合分けしてしまうと16通りに分けることになりますが、これでは、試験会場で時間的に厳しくなります。

とします。
のとき与不等式が成立するとします。つまり、

 ・・・@
が成立するとします。
与不等式で、としても@と同じになり、与不等式は成立します
(実数の絶対値を参照)
同様に、のとき与不等式が成立しないとすると、のときにも与不等式は成立しません。
従って、第
1象限で領域Dを求めておけば、領域Dy軸に関して対称な領域,領域Dと原点に関して対称な領域、領域Dx軸に関して対称な領域も与不等式が表す領域となります。
のとき、より、与不等式は、

となります。
(i) のとき、与不等式は、
(ii) のとき、与不等式は、
(iii) のとき、与不等式は、
(iv) のとき、与不等式は、
(i)(iv)を図示すると領域Dは、右上図黄緑色着色部(境界線を含む)
これと
y軸に関して対称な領域、原点に関して対称な領域、x軸に関して対称な領域を合わせて、求める領域は右下図黄緑色着色部(境界線を含む)


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