阪大理系数学'13年前期[1]

三角関数の極限に関する公式
を示すことにより、の導関数がであることを証明せよ。

解答 教科書をまる暗記せよということではないと思いますが、その場で考えるとしても、右図の状況と、の場合に注意することは覚えておきたいものです。

直角三角形
OABにおいて、 (x弧度法で測るものとします。です)とし、Oを中心とする円とOCとの交点をBとします。
面積,扇形OABの面積はの面積は
は扇形
OABを含み、扇形OABを含むので、
 ()
なので、で各辺を割ると、
各辺の逆数について、
ここで、とすると、
はさみうちの原理より、
の場合については、として、
()とおくと、のとき、
より、のとき、で、

以上より、
として、

 (微分・導関数加法定理を参照)



注.のとき、
 (微分の公式を参照)


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