岐阜大数学'11[3]

平面上に点Oを中心とする半径1の円SSに内接する正三角形ABCがある。以下の問いに答えよ。
(1) 内積の値を求めよ。
(2) を用いて表せ。
(3) 平面上の任意の点Pに対して、以下の不等式が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。
(4) Sの周上の任意の点Qに対して、
となることを示せ。
(5) Sの周上の任意の点Qに対して、
の値を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 内積を用いるベクトルの計算問題ですが、式の形をよく見て工夫して計算しましょう。

(1) のなす角がであることと、であることとから、
......[]
同様に、

(2) stを実数として、とおきます(平面ベクトルの応用を参照)(1)の結果を用いて、
 ・・・@
 ・・・A
@,Aを連立して解くと、
......[]

(3) より、
 ()
 ((2)より)
等号が成立するのは、,つまり、点Pが原点にくるときです。

(4) pqを実数として、とおきます。Qは円S上の点なので、,よって、

 ・・・B

(2)の結果を用いて、

 ( B)

(5) より、

 ()

......[] ( (4))


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。