山梨大医数学'10[2]

表が出る確率がp,裏が出る確率がである硬貨をn回投げる。このとき、硬貨を1回投げるごとに、表ならばAを記録し、裏ならばBを記録して、1回目から順番に1列に並べる。ただし、n2以上の整数であり、とする。このように並べたn個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいない確率をとし、どれもAAの順番に並んでいない確率をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) となるようなpの値、および、そのときのを求めよ。ただし、となることを用いてもよい。

解答 3項間漸化式が美しくないので、極限をとるあたりで不安になりますが、腕尽くで強行突破することにします。

(1) n個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもABの順番に並んでいないとき、n個の文字の並びの中にAが出てくるとその次もAでなければならないので、一度Aが出てくるとその後は全部Aになります。このようになるのは、以下の場合です。
n個の文字の並びすべてAとなる場合、その確率
1番目がB2番目以降すべてAとなる場合、その確率は
1番目と2番目がB3番目以降すべてAとなる場合、その確率は
 ・・・・・・

n個の文字の並びすべてBとなる場合、その確率は
以上の場合はすべて互いに排反で、求める確率は、以上の各場合の確率の和となり、

のときは、
のときは、
のときのとき ......[]

(2) の状況も考えると、1個の文字の並びの中にAAの順の並びは現れないので、です。
のとき、2個の文字の並びの中にAAの順が現れる確率はで、現れない確率は、です。
以下、とします。
n個の文字の中に組ある連続する2文字が、どれもAAの順番に並んでいないとき(こうなる確率はです)
1番目がA (こうなる確率はpです)のときは、Aが続かないので、2番目は必ずBです(こうなる確率はです)3番目はAでもBでも良いのですが、3番目以降の個の文字の中に組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率はです)
1番目がB (こうなる確率はです)のときは、2番目はAでもBでも良いのですが、2番目以上の個の文字の中に組ある連続する2文字は、どれもAAの順番に並んでいません(こうなる確率はです)
以上より、

 ・・・@ (3項間漸化式を参照)
特性方程式: ・・・A
この2次方程式の判別式について、
 ()
より、2次方程式Aは相異なる2実数解をもちます。Aの左辺をとおくと、


これより、2次方程式Aの2αβ について、

また、の軸の位置: より、 (2次方程式の解の配置を参照)
@
は、初項,公比β 等比数列
 ・・・B
@
は、初項,公比αの等比数列。
 ・・・C
B−Cより、
のときの極限を求めたいのですが、なので、でくくります。

ここで、とすると、 (等比数列の極限を参照)

......[]
についても、のとき、
のとき、より、


 ( )
のとき、より、


 ( )

(3) のとき、Aは、

 ( )
のとき、
とすると、



より不適。
のとき、
とすると、



より、
以上より、 ......[]
このとき、
......[]



......[]


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