横浜国大工数学
'10
年後期
[5]
2
つの数列
,
を
で定める。次の問いに答えよ。
(1)
に対して、
を示せ。
(2)
に対して、
を示せ。
(3)
n
を
2
以上の自然数とする。
である自然数
k
に対して、
を示せ。
(4)
に対して、
を示せ。ただし、
(
)
を証明なしに用いてよい。
解答
以下では、
とします。
(1)(4)
では、二項係数の定義:
(
組み合わせ
を参照
)
を使います。
(1)
かつ
のとき、
,
,・・・,
(
)
より、
かつ
のとき、
,
かつ
のとき、
,
のとき、
,このとき、
または
なので、
以上より、
に対して、
(2)
二項定理
より、
・・・@
(1)
の結果を用いて、
(3)
k
についての
数学的帰納法
により示します。
(
T
)
のとき、
よって、
であり、与不等式は成立します。
(
U
)
かつ
(
)
のとき、与不等式が成立するとします。つまり、
このとき、
・・・A
この左辺は、
(
Σの公式
を参照
)
A両辺に
をかけると、
より
なので、
この左辺は、
よって、
∴
よって、
のときにも、与不等式は成立します。
(
T
)
,
(
U
)
より、
n
を
2
以上の自然数とすると、
である自然数
k
に対して、与不等式が成立します。
注.
のときは
に限られるので、
(
T
)
だけで完結していることに注意してください。
(4)
のとき、@と同様にして、
(
注.
のとき中カッコ内は
0
です
)
(
注.
のとき中カッコ内は
0
です
)
和をとるとき
k
が動く範囲を
としているので、上記は
の場合です。
(3)
の結果を用いて、
問題文のヒント:
(
)
を用いて、以下、
のとき、
(
等比数列
を参照
)
(
のとき
)
のとき、
のとき、
よって、
に対して、
追記.
(2)
の結果と合わせて、
となりますが、ここで、
とすると、
となることがわかります。
(
自然対数の底
)
です
(
極限の公式
を参照
)
。
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