横浜国大工数学'10年後期[5]

2つの数列
で定める。次の問いに答えよ。
(1) に対して、
  
を示せ。
(2) に対して、を示せ。
(3) n2以上の自然数とする。である自然数kに対して、
を示せ。
(4) に対して、を示せ。ただし、 () を証明なしに用いてよい。

解答 以下では、とします。(1)(4)では、二項係数の定義: (組み合わせを参照)を使います。

(1) かつ のとき、

,・・・, ()より、
かつ のとき、
かつ のとき、
のとき、,このとき、またはなので、
以上より、
に対して、 

(2) 二項定理より、
 ・・・@
(1)の結果を用いて、

(3) kについての数学的帰納法により示します。
(T) のとき、

よって、であり、与不等式は成立します。
(U) かつ ()のとき、与不等式が成立するとします。つまり、
このとき、
 ・・・A
この左辺は、
 (Σの公式を参照)
A両辺にをかけると、よりなので、
この左辺は、

よって、

よって、のときにも、与不等式は成立します。
(T)(U)より、n2以上の自然数とすると、である自然数kに対して、与不等式が成立します。
注.のときはに限られるので、(T)だけで完結していることに注意してください。

(4) のとき、@と同様にして、
 (注.のとき中カッコ内は0です)
 (注.のとき中カッコ内は0です)
和をとるときkが動く範囲をとしているので、上記はの場合です。(3)の結果を用いて、

問題文のヒント: ()を用いて、以下、のとき、
 (等比数列を参照)
 (のとき)
のとき、
のとき、
よって、 に対して、
追記.(2)の結果と合わせて、となりますが、ここで、とすると、となることがわかります。
(自然対数の底)です(極限の公式を参照)


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