横浜国大工数学'10年後期[5]

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2つの数列，を

で定める。次の問いに答えよ。

(1) に対して、

　　

を示せ。

(2) に対して、を示せ。

(3) nを2以上の自然数とする。である自然数kに対して、

を示せ。

(4) に対して、を示せ。ただし、 () を証明なしに用いてよい。

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解答　以下では、とします。(1)(4)では、二項係数の定義： (組み合わせを参照)を使います。

(1) かつ のとき、

，，･･･， ()より、

かつ のとき、，
かつ のとき、，
のとき、，このとき、またはなので、
以上より、 に対して、　

(2) 二項定理より、

　･･･�@

(1)の結果を用いて、

(3) kについての数学的帰納法により示します。

(�T) のとき、

よって、であり、与不等式は成立します。

(�U) かつ ()のとき、与不等式が成立するとします。つまり、

このとき、

　･･･�A

この左辺は、

　(Σの公式を参照)

�A両辺にをかけると、よりなので、

この左辺は、

よって、

∴
よって、のときにも、与不等式は成立します。

(�T)，(�U)より、nを2以上の自然数とすると、である自然数kに対して、与不等式が成立します。

注．のときはに限られるので、(�T)だけで完結していることに注意してください。

(4) のとき、�@と同様にして、

　(注．のとき中カッコ内は0です)
　(注．のとき中カッコ内は0です)

和をとるときkが動く範囲をとしているので、上記はの場合です。(3)の結果を用いて、

問題文のヒント： ()を用いて、以下、のとき、

　(等比数列を参照)
　(のとき)

のとき、

のとき、

よって、 に対して、

追記．(2)の結果と合わせて、となりますが、ここで、とすると、となることがわかります。

(自然対数の底)です(極限の公式を参照)。

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