静岡大数学'10[1]

kを定数とする。2次方程式2つの実数解αβ をもち、αβ を満たすものとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) kの値の範囲を求めよ。
(2) kを用いて表せ。
(3) αβ の差が整数であるときのkおよびαβ の値を求めよ。

解答 2 次関数・2次方程式と整数の融合問題です。

(1) とおくと、2次方程式解が、2実数解αβ をもつので、です。
のグラフは下に凸な放物線で、ということは、においてにおいてにおいてとなる(2次関数を参照)ということです。よって、
2次方程式の解αβ かつ  (2次方程式の解の配置を参照)
 ・・・@
 ・・・A
@かつAより、
......[]

(2) 2次方程式の判別式D
2次方程式2解は、
 ・・・@
 (2次方程式の一般論を参照)
......[
]

(3) pを整数として、とすると、(2)を用いて、

として、(1)よりですが、なので、においては単調減少です。

これを満たす平方数は、のみです。このとき、で、

より、 ......[]
@より、
......[]


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