東京理科大理'10[2]

とおく。
(1) 方程式の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。
(2) 方程式のすべての実数解aに対して
が成り立つような、2次以下の整式を求めよ。
(3) aを方程式の実数解とするとき、もまた方程式の解であることを示せ。
(4) aを方程式の最大の実数解とするとき、の符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。


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解答 3次方程式の問題ですが、(3)では、「恒等式」と「等式」の違いについて注意しましょう。なお、高次方程式を参照してください。

(1) 3次方程式3個の解をもっています。xにいろいろな数値を代入すると、
より、方程式は、において1つずつ実数解をもちます。従って、
正の実数解が
1個、負の実数解が2 ......[]

(2) 3次方程式3個の実数解をαβγとします。

これがすべての実数xについて成り立つために、
 ・・・@
 ・・・A
 ・・・B
@より、 ・・・C
となりますが、
2次の整式を、pqrを実数として、とおくと、Cでとして、
 ・・・D
 ・・・E
 ・・・F
D−Eより、
3個の解は互いに異なるのでより、で割って、
 ・・・G
E−Fより、同様にして、
 ・・・H
G−Hより、
より、,Gより、,Dより、
......[]
Aより、
 ・・・I
2次の整式を、lmnを実数として、とおくと、Iでとして、
 ・・・J
 ・・・K
 ・・・L
J−Kより、
で割って、
 ・・・M
K−Lより、同様にして、
 ・・・N
M−Nより、
で割って、
Mより、

Jより、

a
を方程式の解とするとき、

 ・・・O
得られたは、Oを用いて、
より、Bを満たしています。
......[]
注意.C,Iより、となることは明らかですが、C,Iのaは「全ての実数」ではなく、3αβγのみであって、C,Iはa恒等式ではなく、恒等式の条件が使えないことに注意してください。
CはD,E,Fを代表して書かれた等式、Iは、J,K,Lを代表して書かれた等式であって、「
aに関する恒等式」ではないのです。
上記のように、
pqrに関する連立方程式D,E,F,また、lmnに関する連立方程式J,K,Lを解かなくても、2次関数のグラフは、通過する異なる3点が決まってしまえば、ただ1通りに決まります。
異なる
3を通ることから
異なる
3を通ることから
と断定できます。

(3) (2)より、
また、

ここで、Oを用いて、
これより、は、
と因数分解できます。よって、もまた、方程式の解になります。

(4) (1)より、の符号はどちらも負 ......[]


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