九大理系数学'10年後期[3]

が、行列を用いて次のように与えられている。
以下の問いに答えよ。
1のときのとする。点の座標を求めよ。
2のときのとする。点の座標を求めよ。
3 (ただしkは正の定数)のときのとする。点の座標を求めよ。
4.点と点の間の距離をとする。を求めよ。

解答 行列無限等比級数の融合問題です。行列の累乗を考えるまでもなく、行列を次から次へとかけていくだけです。
とおきます。


1
,・・・・・・,
 ・・・@ 
(行列の積を参照)
......[
]

2
,・・・・・・,
 ・・・A

......[]
注.1.,2.より、行列の固有値1に対する固有ベクトルが,固有値に対する固有ベクトルがだということがわかります(固有値・固有ベクトルを参照)

3であることを利用します。
@より、 ・・・B
Aより、 ・・・C
B+Cより、
......[]

4
の公比について、より、無限等比級数は収束して和を持ちます。
......[]


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