京都府立医大数学'10年[3]
とし、座標平面上の2つの曲線：，： を考える。
(1) であるとき、とは共有点をもたないことを示せ。
(2) であるとき、との共有点の座標をaを用いて表せ。
(3) (2)の場合で、共有点がの変曲点であるとき、aの値を求めよ。
(4) aが(3)の値のとき、とで囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
解答　面倒な微積の計算問題です。慎重に計算するしかありません。

(1)
とおきます。
　(合成関数の微分法を参照)
とすると、，
ここで、
　･･･①
であれば、xが全実数をとるときなので、①を満たす実数xはありません。また、です。従って、ならでは減少、ならでは増加、よって、はにおいて最小値をとります(関数の増減を参照)。
とおくと、
　(∵ )
よりは単調増加で、において、
以上より、であって、方程式は解を持たず(微分法の方程式への応用(2)を参照)、とは共有点を持ちません。

(2) のとき、(1)のについて、
① ⇔ ⇔ 　(に注意)　･･･②
より、として、①は2解を持ちます。
は、において、よりは減少し、
また、より、
x

0

－0＋0－0＋
00

増減表より、方程式は、実数解をもちます。また、においてとが接することがわかります。
のとき、②より、のy座標はaです。
との共有点の座標は、 ......[答]

(3)

とすると、
このとき、
(2)より共有点のy座標はaなので、共有点がの変曲点であるとき、 ......[答]
このとき、変曲点の座標はとなります。
また、，とy軸との交点は、， ()です。

(4) (2)，(3)より、とは変曲点で接していて、接点以外ではがの上にあります。
：，　：
として、，において、，なので、とで囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vは、
　(y軸のまわりの回転体の体積を参照)
は、，は、より、
　(不定積分の公式を参照)



......[答]

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