京都府立医大数学'10[3]

とし、座標平面上の2つの曲線 を考える。
(1) であるとき、は共有点をもたないことを示せ。
(2) であるとき、の共有点の座標をaを用いて表せ。
(3) (2)の場合で、共有点がの変曲点であるとき、aの値を求めよ。
(4) a(3)の値のとき、で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答 面倒な微積の計算問題です。慎重に計算するしかありません。

(1)
とおきます。
 (合成関数の微分法を参照)
とすると、
ここで、
 ・・・@
であれば、xが全実数をとるときなので、@を満たす実数xはありません。また、です。従って、ならは減少、ならは増加、よって、において最小値をとります(関数の増減を参照)
とおくと、
 ( )
よりは単調増加で、において、
以上より、であって、方程式は解を持たず(微分法の方程式への応用(2)を参照)は共有点を持ちません。

(2) のとき、(1)について、
@  (に注意) ・・・A
より、として、@は2を持ちます。
は、において、よりは減少し、
また、より、
x

0

000
00

増減表より、方程式は、実数解をもちます。また、においてが接することがわかります。
のとき、Aより、
y座標はaです。
の共有点の座標は、
......[]

(3)

とすると、
このとき、

(2)より共有点のy座標はaなので、共有点が変曲点であるとき、 ......[]
このとき、変曲点の座標はとなります。
また、
y軸との交点は、 ()です。

(4) (2)(3)より、は変曲点で接していて、接点以外ではの上にあります。
, 
として、において、なので、で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vは、
 (y軸のまわりの回転体の体積を参照)
は、は、より、
 (不定積分の公式を参照)



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